WisFaq!

Vectorieel bewijzen

Kan iemand mij alstublieft helpen met deze oefening?
Alvast bedankt!

Beschouw het hiernaast afgebeelde parallellepipedum

1. Bewijs vectorieel dat de zwaartepunten van het viervlak OABC, het viervlak ODGE, de driehoek ABC en de driehoek DGE alle op de rechte OF liggen. Welk zwaartepunt valt samen met het middelpunt van het parallellepipedum?
2. Bepaal de vectoriële vergelijkingen van de vlakken ABC en DGE en bewijs dat deze vlakken evenwijdig zijn.
   

   

Jordy
3-5-2019

Antwoord

Omdat je een parallellepipedum hebt geldt, onder meer $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OF}$ en $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OE}=2\overrightarrow{OF}$ (gebruik de kop-staartmethode maar).

Verder is $\frac13(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ de plaatsvector van het zwaartepunt van driehoek $ABC$, en is $\frac14(\overrightarrow{OO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ de plaatsvector van het viervlak $OABC$, en evenzo voor $DGE$ en $ODGE$.

Daar kun je opgave a mee doen.

Voor opgave b het vlak door $ABC$ heeft $\overrightarrow{OA}$ als steunvector en $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{AC}$ als richtingsvectoren; iets dergelijks geldt voor $DGE$, neem $G$ als steunvector en $\overrightarrow{GD}$ en $\overrightarrow{GE}$ als richtingsvectoren. De richtingsvectoren zijn twee aan twee parallel.

kphart
3-5-2019