WisFaq!

Fibonacci rijen

ik moet met behulp van inductie bewijzen dat
F(n+1)² - F(n)F(n+2) = (-1)ⁿ⁺¹
waarbij F(n+2) = F(n+1) + F(n), F(0)=1 en F(1)=1
met inductie moet je dus
F(N+2)²-F(N+1)F(N+3) uitwerken tot (-1)^N+2 maar ik kom niet verder dan F(N+2)²-F(N+1)F(N+2) - F(N+1)²

N
14-4-2019

Antwoord

Beste N,

We kunnen natuurlijk gebruiken dat $F(n+2) = F(n+1) + F(n)$ en $F(n+3) = F(n+2) + F(n+1)$.
Dat passen we toe:

$F(n+2)^2-F(n+1)F(n+3) = F(n+2)(F(n+1)+F(n)) - F(n+1)(F(n+2)+F(n+1)) =$
$F(n+2)F(n+1) + F(n+2)F(n) - F(n+2)F(n+1) - F(n+1)^2 = F(n)F(n+2) - F(n+1)^2$

en nu kunnen we de inductiestap gebruiken dat dit laatste gelijk is aan $-(-1)^{n+1}=(-1)^{n+2}$.

Groet,

FvL
14-4-2019