WisFaq!

Reeks oplossen

De eerste vijf termen van een reeks staan hieronder (in Maple notatie):

n:=1;1;

n:=2;lambda^2*ln(2)^2*x^2 + 2*lambda*ln(2)*x + 2;

n:=3;lambda^3*ln(3)^3*x^3 + 3*lambda^2*ln(3)^2*x^2 + 6*lambda*ln(3)*x + 6

n:=4;16*lambda^4*ln(2)^4*x^4 + 32*lambda^3*ln(2)^3*x^3 + 48*lambda^2*ln(2)^2*x^2 + 48*lambda*ln(2)*x + 24;

n:=5;lambda^5*ln(5)^5*x^5 + 5*lambda^4*ln(5)^4*x^4 + 20*lambda^3*ln(5)^3*x^3 + 60*lambda^2*ln(5)^2*x^2 + 120*lambda*ln(5)*x + 120

Als je niet op de gewichten (coëfficïenten) let, kun je de reeks beschrijven met (in Maple notatie):

Sum((binomial(n,i)*ln(n)^i*lambda^i*x^i),i=0..n);

Hoe moet ik deze formule aanpassen om ook de coëfficïenten goed te krijgen?

Ad van der Ven
7-4-2019

Antwoord

Je zou de coefficienten telkens door $\binom ni$ kunnen delen om te zien wat overblijft. Als we even niet naar het geval $n=4$ kijken zien we telkens $i!$ opduiken. Er staat dus
$$
\sum_{i=0}^n\binom ni\times i!\times (x\lambda\ln n)^{n-i}
$$
ofwel
$$
\sum_{i=0}^n\frac{n!}{i!}\times (x\lambda\ln n)^i
$$

kphart
7-4-2019