WisFaq!

Afgeleide bepalen

Hallo, de volgende formule is te vinden in mijn boek:

N=N₀·¹/₂^{((t/(t·1/2))}.

Met:
N₀: het aantal isotopen in de beginsituatie
N : aantal isotopen op een bepaalde tijd
t : de tijd verstreken vanaf het begin, in sec
t_¹/2 : de halveringstijd

Nu snap ik niet hoe ze aan de afgeleide er van komen, want dat is ook een formule die we moeten kennen:

N' = ln(2)/((t·1/2)) · N

Bij mijn berekening neem ik N₀ = constant lijkt me.. dus die laat ik zo staan. Dan volgt toch gewoon de differentieerregel van (g)^x = g^x · ln(x)

Nu voeg ik een min toe, want de grafiek van de halveringstijd is altijd dalend. Hieruit volgt bij mijn berekening N' = - N₀ · ¹/₂ ^t/(t·1/2) · ln¹/₂

Hier kom ik al niet verder...

Kunt u me hiermee helpen? Ik heb nog een link uit een forum die ook over deze formule gaat maar die snap ik dus niet..

Vooral waar die ln(2) vandaan komt en die ·t/((t·1/2))
Ze gebruiken in het forum een ander symbool voor t·1/2!

Kunt u me hier alstublieft mee helpen?

Met vriendelijke groet,
Stijn

stijn
31-3-2019

Antwoord

De afgeleide die je geeft is niet de afgeleide maar een differentiaalvergelijking. Je kunt dat zien omdat de functie N er in voorkomt.

$
\eqalign{A = \frac{{\ln (2)}}
{{t_{\frac{1}
{2}} }} \cdot N}
$

In het boek stond ook niet dat dit de afgeleide is. In de tekst in het boek stond ook iets over dat je de afleiding daarvan niet hoeft te kennen. Maar we kunnen natuurlijk best de afgeleide bepalen:

$
\eqalign{
& N = N_0 \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^{\frac{t}
{{t_{\frac{1}
{2}} }}} \cr
& N' = N_0 \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^{\frac{t}
{{t_{\frac{1}
{2}} }}} \cdot \ln \left( {\frac{1}
{2}} \right) \cdot \frac{1}
{{t_{\frac{1}
{2}} }} \cr
& N' = N_0 \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^{\frac{t}
{{t_{\frac{1}
{2}} }}} \cdot - \ln \left( 2 \right) \cdot \frac{1}
{{t_{\frac{1}
{2}} }} \cr
& N' = - \frac{{\ln (2)}}
{{t_{\frac{1}
{2}} }} \cdot N_0 \cdot \left( {\frac{1}
{2}} \right)^{\frac{t}
{{t_{\frac{1}
{2}} }}} \cr}
$

Bedenk dat $t$ de variabele is en rest allemaal constanten. Idemdito voor $
{t_{\frac{1}
{2}} }
$, dat is een constante. Het zou niet gek geweest zijn om voor de halveringstijd een ander symbool te gebruiken, maar zo kan het ook.

Als het goed herken je nu ook de differentiaalvergelijk:

$
\eqalign{A = - \frac{{\ln (2)}}
{{t_{\frac{1}
{2}} }} \cdot N}
$

...maar daar moet dan wel een minteken staan...

Helpt dat?

WvR
1-4-2019