WisFaq!

Kruisende rechten

Beste,

Ik moet het volgende bewijzen:

In een geijkte ruimte beschouwt men een rechte e door P1(x₁,y₁,z₁) en met richtingsvector R(a₁,b₁,c₁) en een f rechte door P2(x₂,y₂,z₂) en met richtingsvector S(a₂,b₂,c₂). Bewijs:

e en f zijn kruisend : onderstaande det verschillend is van 0

x1-x2  x1-x2  x1-x2
a1     b1     c1
a2     b2     c2

Ik dacht dat als we kunnen bewijzen dat ze niet evenwijdig en niet snijdend zijn dat we aangetoond hebben dat ze kruisend zijn.

Voor de evenwijdigheid zouden we de beide richtingsgetallen afhankelijk zijn van elkaar waardoor we dus 2 afhankelijke rijen zouden hebben en de determinant dus gelijk zou moeten zijn aan 0. Dus e en f zijn niet evenwijdig.

Maar hoe dan om aan te tonen dat ze niet snijdend zijn? Of is dit een omslachtige methode en kunnen we direct aantonen dat ze kruisend zijn?

Alvast bedankt.

Dina
17-3-2019

Antwoord

De eerste rij van je matrix moet waarschijnlijk $(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$ zijn.
Wat je moet uitzoeken is of er getallen $s$ en $t$ bestaan met $(x_1,y_1,z_1)+s(a_1,b_1,c_1) = (x_2,y_2,z_2)+t(a_2,b_2,c_2)$; zo ja: er is een snijpunt, zo nee: er is geen snijpunt.
Die vergelijking kun je ook schrijven als
$$
(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2) + s(a_1,b_1,c_1) - t(a_2,b_2,c_2) = (0,0,0)
$$Als je determinant ongelijk aan $0$ is dan heeft het stelsel geen oplossing en, zoals je opmerkte, de drie vectoren zijn onafhankelijk dus zijn de lijnen niet evenwijdig.
Als je determinant gelijk is aan $0$ en als de twee richtingsvectoren onafhankelijk zijn dan heeft de vergelijking een oplossing.

kphart
18-3-2019