WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Poolvergelijking ellips

Goedenmiddag,
Beyer(1991) in zijn handboek standaardintegralen (CRC press)heeft als opl. vd integraal dx/(1+ecos(x))^2:
2/(1-e^2)^(3/2) arctg(sqrt((1-e)/(1+e))*tg(x/2) - e*(wortel(1-e^2)sin(x))/((1+ecos(x)) met e1
e*(wortel(1-e^2)sin(x))/((1+ecos(x)) is anders dan wij hadden berekend: (e*(wortel((1-e)/(1+e))tg(x/2))/((1-e)/(1+e)*(tan(x/2))^2 + 1

Voor de x-ondergrens van pi x=3,1415926 op dit gedeelte vd integraal zijn de antwoorden ook ongelijk:
Volgens mijn antwoord: 8,65911E-08
Volgens Beyer: 1,73182E-07
Hoe komt Beyer aan zijn antwoord op de integraal?
Alvast dank en mvg,

Herman
10-2-2019

Antwoord

Beyer kan met gonioformules overweg: als $t=\tan\frac x2$ dan volgt
$$
\sin x=\frac{2t}{1+t^2}
$$en
$$
\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}
$$Hiermee kun je
$$
\frac{\sin x}{1+e\cos x}
$$overvoeren in
$$
\frac{2\tan\frac x2}{(1-e)\tan^2\frac x2 +(1+e)}
$$(of andersom natuurlijk).

Invullen van $\pm\pi$ in die formules is niet erg handig: $\tan\frac x2$ heeft daar een verticale asymptoot, en dus geen waarde. Een benadering van $\pi$ in $\tan\frac x2$ stoppen geeft grote onzekerheid. In de tweede term van de uitkomst van Beyer kun je zonder gevaar $\pm\pi$ invullen, met uitkomst $0$.
In de eerste term moet je toch limieten nemen.

kphart
11-2-2019