WisFaq!

DV en passende substitutie ?

Goede avond,
DV : (x²+y²)+(xy)y'=0
dy/dx+(x²+y²)/xy=0
dy/dx+(x/y)=-(y/x)
Ik tracht er een Bernouilli vergelijking van te maken.
delen door : y
1/y(dy/dx)+x/y²=-x.
Hoe moet het nu verder. Met Bernouilli is dit verder niet mogelijk, denk ik
,Heb ook al getracht met:
y=tx en kom een 'redelijke uitkomst uit maar geen vergelijking met resultaat WPLFRAM te vinden(zie onderaan)
dy/dx=tdx/dx+xdt/dt
(dy/dx)=tdx+t = -(x²+t²x²)/x²t=(-1-2t²)dt/t(wegdelen van x² en vermenigvuldig met t in beide leden)
t²dx+t²=(-1-2t²-t²)dt/(t²+1)
dx=(-1-3t²)dt/(t²+1)
dx=(-3+4/(t²+1))dt
Na integreren :
x+C=-3t+4 bgtan(t)
x+C= -3(y/x)+4bgtan(y/x)
Wolfraam geeft
x+C=√(±(C(1)-x⁴)/(x√2)
Wat goede raad is welkom.
Groetjes

Rik Lemmens
2-2-2019

Antwoord

De DV die je krijgt,
$$
\frac{dy}{dx}=-\frac{x^2+y^2}{xy}
$$
is homogeen. Die kun je oplossen door $y(x)=x\cdot v(x)$ te substitueren.
Na wat werk komt er
$$
\frac{v}{1+2v^2}\frac{dv}{dx}=-\frac1x
$$
een DV met gescheiden variabelen.
Die leidt uiteindelijk naar het antwoord van Wolfram.

kphart
3-2-2019