WisFaq!

Re: Re: Poolvergelijking ellips

De a is idd een e (als constante) geworden.
We hebben het nog steeds over een poolvergelijking ellips.
De oppervlakte A ellips is dan A=1/2 integraal [0,2$\pi$] [(ed)/(1+ecos(x))]² dx. Ik wil dus bewijzen dat deze gelijk is aan A=pi·a·b.
Ik moet dus eerst de integraal 1/(1+ecos(x))]² dx hebben.
Dat is volgens mij:
1/(1-e) · integraal 2 /[1-e)t²+e+1 dt + (1-(e+1)/(1-e)) · integraal 2 /[1-e)t²+e+1 dt
Hoe verder? Heeft u een hint?
Mvg.

Herman
7-1-2019

Antwoord

We begonnen twee antwoorden terug met
$$
\int\frac1{1+a\cos x}\,\mathrm{d}x
$$maar je hebt stiekem met
$$
\int\frac1{(1+a\cos x)^2}\,\mathrm{d}x
$$gewerkt, vandaar het verschil in integralen.
De laatste geeft (ik hou $a$ even aan)
$$
\int\frac{2(1+t^2)}{((1+a)+(1-a)t^2)^2}\,\mathrm{d}t
$$(uit de vorige vraag). Van de teller kun je $\frac2{1-a}((1-a)t^2+1+a-2a)$ maken, dan kun je de integraal als volgt splitsen:
$$
\frac2{1-a}\int\frac1{(1-a)t^2+(1+a)}\,\mathrm{d}t - \frac{4a}{1-a}\int\frac1{((1+a)+(1-a)t^2)^2}\,\mathrm{d}t
$$(jouw vorm kan ik niet krijgen).
De eerste geeft een arctangens; de tweede is, op een schaling na, van de vorm
$$
\int\frac1{(u^2+1)^2}\,\mathrm{d}u
$$Die is te splitsen, via $1=u^2+1-u^2$, als
$$
\int\frac1{u^2+1}\,\mathrm{d}u -\int u\cdot\frac u{(u^2+1)^2}\,\mathrm{d}u
$$De eerste geeft weer een arctangens, de tweede is met één stap partiële integratie (waarbij je $u/(u^2+1)^2$ primitiveeert) snel uitgerekend.

kphart
8-1-2019