WisFaq!

Oppervlakte driehoek

Beste,

ik geraak niet uit aan volgend vraagstuk:

De lijn met vergelijking y=m·x snijdt de grafiek van f(x)=√(4x²-x³) in O (0,0) en in een punt P. A is het punt (m, 0). De oppervlakte van de driehoek OAP hangt af van m. Druk de oppervlakte uit in functie van m.

Kunnen jullie mij misschien op weg helpen?

Ik kon de afgeleide berekenen en vast stellen dat 8,67 de maximale waarde is, maar verder weet ik niet

Elena
5-1-2019

Antwoord

Hallo Elena,

Waarschijnlijk gaat het er uiteindelijk om dat je de maximale waarde van de oppervlakte van driehoek OAP vindt. Dan heeft het geen zin om de afgeleide van f(x) te bepalen. Immers, je zoekt niet het maximum van f(x).

Wanneer je het maximum van een oppervlakte zoekt, dan heb je een formule nodig voor deze oppervlakte. Met behulp van de afgeleide van deze formule kan je de maximale oppervlakte vinden.

De formule voor de oppervlakte van driehoek OAP (uitgedrukt in m) vind je als volgt:

Eerst maar eens een schets van f(x) en de lijn y=m·x om inzicht te krijgen in de situatie. We kennen de waarde van m nog niet, maar met enig proberen vind je dat met m=1 een aardige schets gemaakt kan worden:



De oppervlakte van een driehoek bereken je met:

Oppervlakte driehoek = ¹/₂·basis·hoogte.

Voor driehoek OAP wordt dit:
Oppervlakte OAP = ¹/₂·m·y_P.

We moeten dus y_P zien te vinden. Hiervoor moeten we oplossen:

y=f(x)
m·x=√(4x²-x³)

f(x) kunnen we handiger schrijven, zie hieronder:
m·x=√(x²·(4-x))
m·x=√(x²)·√(4-x)
m·x=x·√(4-x)
m=√(4-x)

Vervolgens:

• Vorm deze vergelijking om tot: x=.......
  (Hint: links en rechts kwadrateren).
  
• Je vindt een formule voor de x-coördinaat van het snijpunt P, uitgedrukt in m. Vul deze formule in de vergelijking y=m·x in, je vindt een formule voor de y-coördinaat, uitgedrukt in m.
  
• Vul deze formule in de formule voor de oppervlakte van driehoek OAP in. Je vindt een formule voor deze driehoek, uitgedrukt in m.

Met behulp van de afgeleide van deze formule kan je de waarde voor m vinden waarvoor deze oppervlakte maximaal is.

Lukt het hiermee?

GHvD
5-1-2019