WisFaq!

Afgeleide bepalen

Goedemiddag!

Al een tijdje ben ik bezig met afgeleiden te bepalen.. maar mijn uitwerkingen en die van het boek verschillen wat.. :
Y: 2 cos(x)/sin(x)
Y': ((sin(x)) · (2cos(x))' - (2cos(x)) · ((sin(x))'
=(sin(x) · -2sin(x))/sin²(x) - (2cos(x) · cos(x)/sin²(x)
= -2 · sin²(x)/(sin²(x)) - 2cos²(x)/(sin²(x))
= -2 - 2cos²(x)/sin²(x)

Mijn boek vereenvoudigt werkt het volgende uit...
- 2/sin²(x)

Nou had ik hiervoor ook een opgave waarna ik me lek had gezocht naar het de onderbouwing van de uitwerking van het boek: waarbij ik als uitkomst had:
cos²(x) + sin²(x)/cos²(x)
Waarbij het uitwerkboek ervan maakt: 1/(cos²(x)
.... De stelling van pythagoeras afgeleid uit de eenheidscirkel natuurlijk...

Nou vermoed ik dat ze hierboven weer zoiets hebben gedaan, maar dit keer kan ik het niet echt achterhalen... zijn er dan bepaalde regeltjes die u bij het afleiden toepast als je met goniometrische functies gaat werken?..

Ik kijk uit naar u antwoord!
Vriendelijke groet,
Stijn

Stijn
17-12-2018

Antwoord

Beste Stijn,

Het is inderdaad weer die formule uit de goniometrie, namelijk dat $\cos^2x+\sin^2x=1$. Je kan het jezelf gemakkelijker maken door de breuk niet onmiddellijk in twee stukken te splitsen.

Let wel op dat je in de eerste regel van de berekening van de afgeleide de noemer vergeten was, die komt er bij jou pas in de tweede regel bij. Laat het voorlopig in één breuk staan:
$$y'=\frac{\sin x (-2\sin x)-2\cos x\cos x}{\sin^2x}=\frac{-2\sin^2-2\cos^2}{\sin^2x}=\ldots$$Kan je zo verder?

Of nog een tip, je had die factor $2$ voor de afgeleide kunnen brengen en krijgt dan snel:
$$y'=2\frac{-\sin^2x-\cos^2x}{\sin^2x}=-2\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin^2x}=-\frac{2}{\sin^2x}$$mvg,
Tom

td
17-12-2018