WisFaq!

Productregel en somregel

Goedemorgen,

Ik ben al een tijdje bezig met de volgende som. Mijn uitkomst komt echter niet overeen met die van het antwoordenboek...
T(t)=(2t + 1/t) · √t

Als ik dit differentieer probeer ik dat als volgt:
T'(t) = (2t + t^-1)' · (t¹/2) + (2t + t^-1) · (t¹/2)'
T'(t)= 2 - t^-2 · (t¹/2) + (2t + t^-1) · ¹/₂ · t^-1/2
T'(t)= 2 - 1/t² · (t¹/2) + (2t + 1/t) · 1/ √t·t)

Het boek geeft T(t)'=3√t - 1/2t√t
Maar als ik nu verder wil gaan rekenen en de haakjes wil gaan uitwerken... dan klopt de standaardregel:
f(x) · g(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x) toch niet meer want dan ga ik met de afgeleiden vereenvoudigen... dat mag dan toch niet?

Die ... factoren moet ik toch gewoon laten staan? Want de standaardregel luidt: f(x) = c·g(x) dan is f'(x) = c·g(x)

Ik begrijp niet hoe het boek aan deze uitkomst komt...
U wel? . Ik hoor het graag!

Groetjes,
Stijn

Stijn
15-12-2018

Antwoord

Volgens mij gaat het zo:

$
\eqalign{
& T(t) = \left( {2t + \frac{1}
{t}} \right) \cdot \sqrt t \cr
& T'(t) = \left( {2 - \frac{1}
{{t^2 }}} \right) \cdot \sqrt t + \left( {2t + \frac{1}
{t}} \right) \cdot \frac{1}
{{2\sqrt t }} \cr
& T'(t) = 2\sqrt t - \frac{{\sqrt t }}
{{t^2 }} + \frac{{2t}}
{{2\sqrt t }} + \frac{1}
{{2t\sqrt t }} \cr
& T'(t) = 2\sqrt t \cdot \frac{{2t\sqrt t }}
{{2t\sqrt t }} - \frac{{\sqrt t }}
{{t^2 }} \cdot \frac{{\frac{{2\sqrt t }}
{t}}}
{{\frac{{2\sqrt t }}
{t}}} + \frac{{2t}}
{{2\sqrt t }} \cdot \frac{t}
{t} + \frac{1}
{{2t\sqrt t }} \cr
& T'(t) = \frac{{4t^2 }}
{{2t\sqrt t }} - \frac{2}
{{2t\sqrt t }} + \frac{{2t^2 }}
{{2t\sqrt t }} + \frac{1}
{{2t\sqrt t }} \cr
& T'(t) = \frac{{6t^2 - 1}}
{{2t\sqrt t }} \cr}
$

Het is gebruikelijk om alles onder één noemer te zetten, we noemen dat gelijknamig maken. Als je dan met de afgeleide verder wilt rekenen is dat wel zo handig.

Het antwoord dat jij geeft is wel juist.

$
\eqalign{
& T'(t) = 3\sqrt t - \frac{1}
{{2t\sqrt t }} \cr
& T'(t) = 3\sqrt t \cdot \frac{{2t\sqrt t }}
{{2t\sqrt t }} - \frac{1}
{{2t\sqrt t }} \cr
& T'(t) = \frac{{6t^2 }}
{{2t\sqrt t }} - \frac{1}
{{2t\sqrt t }} \cr
& T'(t) = \frac{{6t^2 - 1}}
{{2t\sqrt t }} \cr}
$

Helpt dat?

Naschrift
Ik heb wel gebruik gemaakt van de volgende standaardafgeleide. Dat is handiger dan al die gebroken machten.

$
\eqalign{
& f(x) = \frac{1}
{x} \to f'(x) = - \frac{1}
{{x^2 }} \cr
& f(x) = \sqrt x \to f'(x) = \frac{1}
{{2\sqrt x }} \cr}
$

Naschrift 2
Het kan ook anders! Zie de reactie hieronder.

WvR
15-12-2018