WisFaq!

Re: Smallest

Mag je nu ook zeggen dat voor een willekeurige reeks van n getallen geldt, dat

ln(v) - 2·ln(m-smallest) + e 0

en

2·ln(m-smallest) + e - ln(v) 0

Bij voorbaat dank voor uw moeite.

Ad van der Ven
10-12-2018

Antwoord

De som $(x_1-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2$ noemen we even $w$. Als we nu aannemen dat $x_1$ het kleinste getal is uit $\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$ (dus $x_1=s$) dan vinden we
$$
\frac{w}{(m-s)^2}=\frac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2}{(x_1-m)^2} > 1
$$
(aangenomen dat niet alle getallen gelijk zijn, anders staat er namelijk $\frac00$).
Deze ongelijkheid is scherp: stel $x_1=s$ en $x_2=\cdots=x_n=a > s$; dan geldt $m=\frac1ns+\frac{n-1}na$. Dan volgt $a-m=\frac1n(a-s)$ en $m-s=\frac{n-1}n(a-s)$.
Dan is $w$ gelijk aan $(m-s)^2+(n-1)(a-m)^2$ en dat is gelijk aan
$$
\frac{(n-1)^2}{n^2}(a-s)^2 + \frac{n-1}{n^2}(a-s)^2
$$Dan volgt, na wat wegstrepen,
$$
\frac{w}{(m-s)^2}=1+\frac1{n-1}
$$Dus $1$ kan niet verbeterd.

Als we nu $v=\frac1{n-1}w$ nemen dan vinden we
$$
\frac{v}{(m-s)^2} > \frac1{n-1}
$$waarbij er $n$-tallen zijn waarvoor dit willekeurig dicht bij $\frac1{n-1}$ komt. Voor de logaritme geeft dat
$$
\ln v-2\ln(m-s) > -\ln(n-1)
$$Als $n$ groot genoeg is zijn er dus $n$-tallen waarvoor $\ln v-2\ln(m-s)+\mathrm{e}$ negatief is.

Wat de tweede ongelijkheid betreft: door omgekeerd $x_1=\cdots =x_{n-1}=s$ te nemen en $x_n=a$, met $s < a$ volgt
$$
\frac{(m-s)^2}{w} = \frac{1}{1+(n-1)^3}
$$en dus
$$
\frac{(m-s)^2}{v} = \frac{n-1}{1+(n-1)^3}
$$beide kunnen we willekeurig dicht bij $0$ krijgen en ook daar vinden we dus $n$-tallen waar de uitdrukking negatief kan zijn.

kphart
11-12-2018