WisFaq!

Stationaire punten en asymptoten??

Bereken van onderstaande functies alle voorkomende stationaire punten en asymptoten en geef het type aan:

a) f(x)=x²/(1-x²)
b) f(x)=xe^x

Zelf kom ik er niet uit!!.

John
18-3-2003

Antwoord

Hoi
Er bestaan 3 soorten asymptoten: horizontale, verticale en schuine.

Om de horizontale te zoeken moet
LIM F(x) voor x$\to$±$\infty$ = a, met a $\in$$\mathbf{R}$
Bijvoorbeeld bij de eerste: lim (x²/(1-x²)), voor x$\to\infty$=-1
dus y=-1 is en horizontale assymptoot, zie ook volgend plaatje:



Om een verticale asymptoot te bepalen, moet je kijken naar de nulpunten de noemer. dus in het voorbeeld hier los je de vergelijking 1-x²=0 op, en je bekomt 2 nulpunten, -1 en 1. dus zijn er twee verticale asymptoten, x=1 en x=-1 Let wel: de teller mag niet ook nul worden, want anders is dat punt onbepaald. Ook bestaan er bij bepaalde soorten functies ook Vert. asymptoten, zoals bij een logaritme...

Een schuine assymptoot heeft deze functie niet (en x·e^x ook niet).
Je vindt ze als het volgt
de schuine assymtoot is in vorm van ax+b

a=lim (f(x)/x) met x$\to$±$\infty$
b=lim (f(x)-ax) met x$\to$±$\infty$
Let wel: een functie kan 2 schuine assymptoten hebben (in dat geval moet je de a en b voor +$\infty$ samen nemen, en de a en b voor -$\infty$), of een schuine en een horizontale of 2 horizontale, meer kan niet!

Wat stationaire punten zijn weet ik niet, maar in het geval dat het minima en maxima zijn:
neem de eerste afgeleide van f(x). zoek de nulpunten van die 1e afgeleide. Stel dan een tekentabel op. Is er rond het nulpunt een tekenwisseling dan is er ook een extreem punt.
Als je tabel er zo uit ziet:

X:               a 
F'(x):  +        0         - 

dan is er een maximum in punt a, want als f'(x)$>$0 dan stijgt de functie, en als f'(x)$<$0 daalt ze.

dus bij volgende tabel:

X:               a 
F'(x):   -       0       + 

is er een minimum in het punt a een minimum

LET OP:
Als je volgende tabel hebt:

X:              a 
F(x):  +        0          + 

is er GEEN extreem punt in punt a, want er is geen tekenwisseling van F(x)

Als statische punten ook buigpunten inhouden:
neem de tweede afgeleide, leid dus F''(x) af.
zoek weer de nulpunten en stel een tekentabel op. Als er in punt a een nulpunt is, en er is tekenwisseling, dan is er een buigpunt.
Als F''(x)$<$0 dan is de kromming negatief (opening naar beneden), als F''(x)$>$0 is de kromming positief, dus de opening naar boven. een eenvoudig hulpmiddeltje:
teken een lachend gezichtje het mondje staat naar boven, dus + (+=goed)
bij een droevig :( is het mondje naar beneden, dus - (-=slecht)

Hope this helps
Jan

js
19-3-2003