WisFaq!

Spelen van een spel

Gisteren stelde ik de volgende vraag waar ik een duidelijk antwoord op kreeg:

3 vrienden ( A, B en C ) spelen een spel en gaan net zo lang door totdat één van hen 3 keer heeft gewonnen.

De mogelijkheden voor A om na 4 spelletjes winnaar te zijn, kun je als volgt noteren. BAAA, ABAA, AABA, CAAA, ACAA en AACA. Hierbij betekent dat B het eerste spel wint en A daarna de 3 volgende spelletjes. Er zijn dus 6 mogelijkheden voor A om in 4 spelletjes te winnen.

De vraag is op hoeveel manieren kan A in 5 spelletjes winnen

Door de opstelling BACAA te maken etc. kom je dus uit op 24. Dit is me dan ook zoals gezegd duidelijk. Maar als de vraagstelling zou luiden: Op hoeveel manieren kan A in 6 spelletjes winnen? Het is dan een hele exercitie om dit uit te schrijven. Ik heb zelf geprobeerd om dit op een verkorte manier te doen en kwam uit op het volgende:
4 spelletjes geeft 6 mogelijkheden, namelijk: 4 · 3 · 2 ·1 / 4 = 6
5 spelletjes geeft 24 mogelijkheden, namelijk 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 5 = 24
6 spelletjes zou dan: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 / 6 = 120

Mijn vraag is dan of deze redenatie klopt.

Joost Blokland
7-10-2018

Antwoord

Hallo Joost,

Je redenatie klopt niet, dat kan je voelen aankomen. Immers, als je zo doorredeneert, zou het aantal mogelijkheden dat A in 8 spellen wint, gelijk zijn aan:

8·7·6·5·4·3·2·1/8 = 5040.

Het aantal mogelijkheden is echter nul: A wint 3 van de 8 spellen, de overige 5 spellen worden gewonnen door B en C. Dat kan alleen wanneer B of C minimaal 3 spellen wint, en daarmee is het hele spel afgelopen voordat A aan het 8e spel toekomt.

We zoeken het aantal mogelijkheden waarop A in vijf spelletjes wint. De stippen hieronder stellen de spelletjes voor:

. . . . .

Op elke stip zetten we de winnaar van het betreffende spel. We eisen dat A het 5e spel wint:

. . . . A

Op de overige vier stippen moeten we dan twee keer een A plaatsen. De vraag wordt dan: op hoeveel manieren kunnen we twee A's verdelen over vier plaatsen? We noemen dit: het aantal combinaties van 2 uit 4, dit is 4!/(2!·2!)=24/4=6.
Hierna moeten we nog het aantal mogelijkheden tellen om de overgebleven stippen te vullen. Dat kan als volgt:

• twee keer een B: aantal mogelijkheden is 1 (namelijk B B)
  
• een B en een C: aantal mogelijkheden is aantal combinaties van 1 uit 2, dit is 2 (namelijk B C of C B)
  
• twee keer een C: aantal mogelijkheden is 1 (C C).

Het aantal mogelijkheden om de laatste twee stippen te vullen, is dus 1+2+1=4.

Het aantal mogelijkheden waarop A in 5 spellen wint, is zodoende 6·4=24

Nu het aantal mogelijkheden waarop A wint in 6 spellen. We zetten 6 stippen op rij, met alvast een A op de laatste plaats:

. . . . . A

Eerst verdelen we nog twee A's over de 5 overgebleven stippen. Aantal mogelijkheden is het aantal combinaties van 2 uit 5, dit is 5!/(2!·3!)= 120/12=10.
Nog 3 stippen te vullen met B's en C's. Dit kan als volgt:

• 2 keer B en 1 keer C: aantal mogelijkheden is aantal combinaties van 2 uit 3, dit is 3
  
• 1 keer B en 2 keer C: aantal mogelijkheden is aantal combinaties van 1 uit 3, dit is 3

(3 keer B en 3 keer C mag niet, want dan wint B of C en niet A). Het totaal aantal mogelijkheden om de overige stippen te vullen, komt hiermee op 3+3=6.

Het aantal mogelijkheden waarop A in 6 spellen wint, is zodoende 10·6=60

GHvD
7-10-2018