WisFaq!

Totale afleidbaarheid bewijzen

Hallo, mijn vraag gaat als volgt: er is gegeven dat f een functie is van Rⁿ naar R^k die voldoet aan ||f(x)|| $\le$ ||x||² voor alle x in Rⁿ. Ik moet nu aantonen dat f totaal afleidbaar is in 0 en (df)(0) bepalen.

Nu, ik weet dat f totaal afleidbaar is in een x₀ in Rⁿ als er een lineaire afbeelding (df)(x₀) bestaat zodat f(x) = f(x₀) + (df)(x₀)(x-x₀) + o(||x-x₀|| voor x$\to$ x₀. Maar ik weet niet hoe ik nu verder moet. Kan iemand me helpen?

Alvast bedankt!

Stijn
7-10-2018

Antwoord

Uit de aannamen volgt dat $f(0)=0$ en dat $f(x)$ zelf $o\bigl(\|x\|\bigr)$ is. Nu zou ik voor $\mathrm{d}f(0)$ de nulafbeelding nemen.

kphart
7-10-2018