WisFaq!

Tweede orde ODE power series

Hi wisfaq,

Ik heb een vraagje bij deze ODE: x²·f'(x) + f''(x) = 0.
Als probeeroplossing heb ik dan $\sum$a_n·xⁿ van nul naar oneindig. Ik heb dan na invullen van probeeroplossing en shiften met indices gevonden de recursierelatie: a_n+4 = a_n+1 · (n+1)/( (n+4)·(n+3) ). Nou moet ik aantonen mbv de ratio test dat de power series convergeert maar ik heb geen flauw benul hoe ik dit beest moet generaliseren naar a_n

Harold
4-10-2018

Antwoord

Als het goed is heb je ook ontdekt dat $a_2=a_3=0$ en dus dat het volgende overblijft
$$
a_0+\sum_{n=0}^\infty a_{3n+1}x^{3n+1}
$$je relatie komt neer op $(3n+1)a_{3n+1}=(3n+4)(3n+3)a_{3n+4}=0$ ofwel
$$
\frac{a_{3n+4}}{a_{3n+1}} = -\frac{3n+1}{(3n+4)(3n+3)}
$$Nu moet je er uit kunnen komen.

kphart
4-10-2018