WisFaq!

Re: Bepaling van een cirkelvergelijking

Ik stel vergelijking op:(x-2)²+(y-0)²=r²
Ik werk de haakjes weg: x²-4x+4+y²=r²
x=2 y=x
Ik breng de waarde van x en y in de vergelijking: 4-8+4+4=4
dus (x-2)²+y²= 4. in het boek is de oplossing: (x-2)²+y²=2. wat doe ik verkeerd? met dank!

Walter Heynderickx
21-9-2018

Antwoord

Hallo Walter,

Het lijkt erop dat je 'zomaar' wat gaat invullen, zonder dat daar een goed plan achter zit. De vergelijking van de cirkel is juist. Haakjes wegwerken is niet nodig, dit levert alleen een andere presentatie van dezelfde vergelijking.

Maar dan: je vult x=2 in. Waarom? Dit is de x-coördinaat van het middelpunt van de cirkel, terwijl je op zoek bent naar een punt op de cirkel zelf (het raakpunt met de lijn).
Voor y vul je x in, ofwel ook 2. Waarom? Het raakpunt ligt weliswaar op de lijn y=x, maar uit niets blijkt dat dit is bij x=2 (dus ook niet bij y=2). Je kunt niet 'zomaar' twee zelfgekozen gelijke waarden voor x en y in je cirkelvergelijking invullen.

Kortom: voor dit soort problemen (eigenlijk alle wiskundige problemen) bedenk je eerst een logisch plan dat naar een oplossing leidt (dit is in feite wiskunde), daar volgt dan meestal rekenwerk op dat je natuurlijk netjes moet uitvoeren.

In dit geval kan je twee verschillende strategieën volgen:

• Bepaal de richtingscoëfficiënt van de lijn waaraan de cirkel moet raken.
  
• Bedenk dat de verbindingslijn van middelpunt en raakpunt loodrecht staat op de raaklijn. Bepaal de richtingscoëfficiënt van deze verbindingslijn.
  
• Deze verbindingslijn gaat door het middelpunt (2,0) van de cirkel. Stel hiermee de vergelijking op van deze verbindingslijn.
  
• Bereken het snijpunt van deze verbindingslijn en de raaklijn y=x.
  
• Bereken met Pythagoras de afstand tussen middelpunt cirkel en raakpunt. Hiermee is de straal bekend, en dus de cirkelvergelijking compleet.

Tweede strategie (waarschijnlijk iets sneller):

• Snij de cirkel met de lijn (substitutie van x of y uit je vergelijking van de raaklijn in de cirkelvergelijking).
  
• Je krijgt een kwadratische vergelijking waar de straal r in voorkomt.
  
• Bij raken heeft deze kwadratische vergelijking slechts één oplossing. De discriminant D moet dus nul zijn.
  
• Los op: D=0. Hieruit volgt de waarde van de straal r, waarmee de cirkelvergelijking compleet is.

Lukt het hiermee?

GHvD
21-9-2018