Uit C tekent men de loodlijn op de buitendeellijn m van de hoek A. Noem P het voetpunt van die loodlijn op m. Bepaal de meetkundige plaats van het voetpunt P.
Vooreerst maakte ik een tekening (zie bijlage). Het is meteen duidelijk dat wegens AB+AC = s, het punt A beweegt op een ellips (E), met brandpunten B en C, én, gaande door de punten D en E. Noem x de afstand van B tot D resp. C tot E. Om x te bepalen drukt men uit dat x + d +x = s, met d de afstand tussen de brandpunten B en C. Hieruit volgt dat x = (s - d)/2.
Het is ook direct duidelijk dat het hoekpunt A onder BC kan liggen; daar werd A vervangen door A' en P door P' (zie figuur; spiegeling!).
De buitendeellijn van het hoekpunt A, is tezelfdertijd raaklijn aan (E), als B en C brandpunten zijn van (E).
Bij constructie is de hoek(APC) = 90°. Empirisch stelde ik vast dat de hoek(APD) = hoek(CPE), onverschillig de posiitie van A op (E). De hoekwaarde verandert wel, maar de hoeken blijken wel steeds aan elkaar gelijk te zijn.
Voer dan een rotatie van de hoek(APC) = 90° rond het punt P, over een hoek hoek(APD) = hoek(CPE). Dit heeft tot gevolg dat de lijn AP,resp. CP omgezet wordt in de lijn DP resp. EP.
Wegens de gelijkheid hoek(APD) = hoek(CPE), betekent dit dat de hoek(DPE) = 90°, want langs de ene kant wordt de gegeven rechte hoek hoek(APC) verminderd wordt met hoek(APD) en anderzijds met de hoek(CPE) vermeerderd.
Dat betekent dan op zijn beurt dat het voetpunt P op een cirkel (K) moet liggen met middellijn DE.
Het omgekeerde, nl. aantonen dat een willekeurig punt S gelegen op (K) leidt tot de conclusie dat S een voetpunt is van een loodlijn uit C op de buitenraaklijn van het corresponderend hoekpunt A, voorgesteeld door A", stelde geen probleem.
Mijn VRAAG: Hoe kan ik er achteraf in slagen om wiskundig aan te tonen dat hoek(APD) = hoek(CPE). Graag een tip a.u.b. waarmee ik de gelijkheid van die 2 hoeken kan aantonen. Van harte bedankt!
Yves De Racker
3-9-2018
