WisFaq!

Complexe getallen: bepaal a zodat de vergelijking een reële wortel heeft

Beste

Ik heb een probleempje met een oefening in mijn cursus complexe getallen, de oefening is als volgt:

Bepaal a$\in$ R zodat de vergelijking (3+4i)z²-(a-5)z+2-4i een reële wortel heeft.

Ik kom steeds een wortel in de vorm van a+bi, dus een complex getal, terwijl ik enkel een reëel getal zou moeten uitkomen. Iemand die me op weg kan helpen naar de juiste oplossing?

Ellen Geets
25-8-2018

Antwoord

Stel r is de gezochte reële wortel. Dan weten we:
$(3+4i)r^2-(a-5)r+2-4i=0$. Dan moet dus ook gelden:
$3r^2-(a-5)r+2=0$ (reëel deel)
$4r^2-4=0$ (imaginair deel)
Je kunt nu deze vergelijkingen gebruiken om $r$ en $a$ te bepalen. Uit de tweede vergelijking vind je $r=\pm 1$.
Je vindt voor $r=1$: $a=10$ en voor $r=-1$: $a=0$. Er zijn dus twee mogelijke waarden voor $a$ die ervoor zorgen dat de vergelijking een reële oplossing heeft.

js2
25-8-2018