WisFaq!

Oppervlakte berekenen van vlakke figuur F

De vlakke figuur F is het gebied dat ingesloten word door de kromme en de x-as.

K: x=2acos³(t)/(sin(t))
y=2asin²(t)
Bepaal oppervlakte van F en bepaal het zwaartepunt van F.

Om de oppervlakte te berekenen heb ik volgende formule gebruikt:

de integraal van x·dy met grenzen 0 en $\frac{\pi}{2}$
waarbij dy= 4·sin(t)·cos(t)
Na heel wat rekenwerk komt dit uit op 3a²·$\pi$
Is dit correct?

Ik heb de oppervlakte ook proberen te berekenen met onderstaande formule:

opp.=1/2·INT(xdy-ydx)
waarbij
dy= 4·sin(t)·cos(t)
en dx=-6cos²(t)+(2cos⁴(t))/sin⁴(t)

Uiteindelijk kom ik dan uit op:
96a²·INT(cos⁴(t)+cos²(t)-(cos⁴(t)/sin²(t)))
met grenzen 0 en 2$\pi$

Hier vind ik echter geen oplossing voor omdat ik de integraal van cos⁴(x)/sin²(x) niet kan oplossen. Is deze wel mogelijk om op te lossen?

Alvast bedankt

jonathan
14-8-2018

Antwoord

Als ik $x\,\mathrm{d}y$ uitwerk kom ik uit op $8a^2\cos^4t\,\mathrm{d}t$ en
$$
\int_0^{\frac\pi2}\cos^4t\,\mathrm{d}t = \frac3{16}\pi
$$dus er zou $\frac32a^2\pi$ uit moeten komen.
Voor $\cos^4t/\sin^2 t$ zou je dit kunnen doen:
$$
\frac{(1-\sin^2t)^2}{\sin^2t}= \frac1{\sin^2t}-2 +\sin^2t
$$

kphart
14-8-2018