WisFaq!

Kettingregel

Goedemorgen,

Ik moet de afgeleide van de functie f(x)=ln(x^a) bepalen. Ik ben zelf al een heel eind, maar hoe ik nu precies tot het uiteindelijke antwoord (f'(x)=^a/_x) kom is mij nog niet helemaal duidelijk.

Tot hier ben ik zelf gekomen:
f(x) = ln(x^a) met u = x^a en f(u) = ln(u)

dit geeft:
f'(u) = ¹/_u
u'(x) = ax^a-1

het invullen van f'(u(x))u'(x) geeft:
f'(x) = ¹/_x^a · ax^a-1

Hoe je van hier tot f'(x) = a/x komt snap ik echter niet helemaal. Kunt u mij dit uitleggen? (Of laten zien waar ik zelf al een misstap heb gemaakt?)

• Kettingregel

Bo
29-7-2018

Antwoord

Je bent goed op weg en ik zou geen bezwaar hebben tegen:

$
\eqalign{
& f(x) = \ln (x^a ) \cr
& f'(x) = \frac{1}
{{x^a }} \cdot ax^{a - 1} \cr
& f'(x) = \frac{1}
{{x^a }} \cdot ax^a \cdot x^{ - 1} \cr
& f'(x) = a \cdot x^{ - 1} \cr
& f'(x) = a \cdot \frac{1}
{x} \cr
& f'(x) = \frac{a}
{x} \cr}
$

Je kunt de factor $x^{a}$ achteraf wegdelen. Dat is niet fout, maar het kan handiger:

$
\eqalign{
& f(x) = \ln (x^a ) \cr
& f(x) = a \cdot \ln (x) \cr
& f'(x) = a \cdot \frac{1}
{x} \cr
& f'(x) = \frac{a}
{x} \cr}
$

Dat is iets korter.

Meer in het algemeen is het 'handig' om vooraf altijd even te kijken of je het functievoorschrift van de functie die je wilt differentiëren kunt 'vereenvoudigen'.

• Rekenregels voor logaritmen

WvR
29-7-2018