Als ik nu alles substitueer door (t-a) strand ik vast op L{Hv(t-a-e)}. (zie foto deel 1).
Ik ben verder gegaan met een andere manier (zie deel 2 op de foto). Namelijk de afgeleide van Heaviside als definitie. Hiermee ontwijk ik de integraal van de Laplace transformatie en krijg ik wel de uitkomst. Alleen kom ik steeds op hetzelfde domein. Namelijk dat deze functie alleen geldig is voor ta.
Erwin den Boer
24-7-2018
De $t+a$ moet $t-a$ zijn.
Je hebt $\mathcal{L}(Hv(t-\epsilon))=\frac1se^{-\epsilon s}$ vul nu voor $\epsilon$ de som $a+\epsilon$ in wnt $t-a-\epsilon=t-(a+\epsilon)$ en je krijgt $\mathcal{L}(Hv(t-a-\epsilon))=\frac1se^{-(a+\epsilon)s}$ en idem voor $\mathcal{L}(Hv(t-a))=\frac1se^{-as}$.
Nu krijg je
$$
\mathcal{L}(\delta_\epsilon(t-a)) = \frac{e^{-as}}{s}\frac{1-e^{-\epsilon s}}\epsilon
$$Nu kun je het oude bewijs volgen.
Bij het werk met de Laplace-transformatie neemt men vaak stilzwijgend aan dat alle functies op heel $\mathbb{R}$ zijn gedefinieerd, door voor negatieve $t$ de functiewaarden op $0$ te stellen; je functie is dus ook voor $t\in[0,a)]$ gedefinieerd, met functiewaarde $0$. De interaal $\int_0^a$ levert dus bijdrae $0$.
Ik had je foto niet gezien, nu wel. Beide integralen waar je mee begint zijn fout, je moet deze hebben:
$$
\int_0^\infty e^{-st} \delta(t-a)\,dt
$$
kphart
24-7-2018
#86591 - Bewijzen - Student hbo