WisFaq!

Re: Re: Particuliere oplossing DV

Dag Klaas-Pieter,
Is het mogelijk de oplossing van deze DV eens uit te schrijven, zodat ik rustig kan kijken hoe die oplossing evolueert .Het is een Cauchy vergelijking en we kunnen x^r=e^rz stellen .
Nemen we daarvoor alo aan, voor wat ik al, had gevonden, de homogene vergelijking y(h).
y(h)= C(1)c=C(2)/x =C(1)e^(z)+C(2)e^-z.
Graag een antwoord als je daar de tijd voor kan vinden. Niets is dringend in de vakantie.. Toch alvast hartelijke dank voor al je tussenkomsten en je eeuwig geduld.....
Groeten,
Rik

Rik Lemmens
6-7-2018

Antwoord

De oorspronkelijke is dus $x^2\cdot y''+x\cdot y'-y=x^r$; de vraag is een beetje merkwaardig: "voor welke $r$ kun je deze oplossen door $x=e^z$ te stellen" want dat kan in principe altijd. Het enige wat die substitutie doet is de DV vertalen in een andere.
Net als in het eerste antwoord en in dit eerdere antwoord voeren we een nieuwe functie in $Y(z)=y(e^z)$. Na uitwerken krijg je de volgende DV als vertaling
$$
Y''(z)-Y(z)=e^{rz}
$$De homogene vergelijking los je op door $Y_h(z)=e^{sz}$ te stellen en in te vullen, er komt: $(s^2-1)e^{sz}=0$, met oplossingen $s=1$ en $s=-1$ en dus
$$
Y_h(z)=c_1e^z+c_2e^{-z}
$$Deze kun je terugvertalen naar de oplossing van de homogene DV bij het oorspronkelijke probleem: $y_h(x)=c1x+c_2x^{-1}$.
Voor het bepalen van een particuliere oplossing kun je als $r\neq1$ en $r\neq -1$ dit proberen: $Y_p(z)=Ae^{rz}$. Na invullen komt er
$$
(r^2-1)Ae^{rz}=e^{rz}
$$en dus $A=1/(r^2-1)$, met $Y_p(z)=\frac1{r^2-1}e^{rz}$.
Terugvertaald naar de oorspronkelijke DV geeft dit $y_p(x)=\frac1{r^2-1}x^r$.
In het geval dat $r=1$ of $r=-1$ probeer je $Aze^{rz}$, met, na invullen,
$$
2rAe^{rz}=e^{rz}
$$en dus $A=1/(2r)$ met $Y_p(z)=\frac1{2r}ze^{rz}$. Dat terugvertaald naar het oorspronkelijke geval geeft $y_p(x)=\frac1{2r}\cdot\ln x\cdot x^r$.

Zie Eerste antwoord [https://wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=86532]

kphart
8-7-2018