WisFaq!

Vraag met betrekking tot regel (natuurlijk) logaritme

Er is voor mij een onduidelijkheid over het toepassen van een rekenregel bij de volgende opgave:

Los x op uit:

ln(2x) = 1 + ln(x²)

Bij het oplossen van deze opgave heb ik eerst de productregel toegepast en de vergelijking omgezet naar:
ln(2) + ln(x) = 1 + ln(x²)

Vervolgens heb ik dit omgezet naar:
ln(2) + ln(x) = 1 + 2 ln (x)

Ik heb de 2 ln x naar de andere kant verplaatst
ln (2) - ln (x) = 1

Daarna heb ik de ln (2) naar de andere kant verplaatst zodat ik alleen de ln x overhou aan de linkerkant:
-ln(x) = -ln (2) + 1

Vervolgens heb ik al dit keer -1 gedaan:
ln (x) = ln (2) - 1

Hieruit dacht ik de oplossing gevonden te hebben in de vorm:
e^ln(2)-1 = x

Maar dit blijkt onjuist te zijn. ik vraag me af waar ik de fout in ben gegaan. ik heb als 'hint' de regel a = logb(b^a) gekregen maar ik zie niet precies hoe ik dat hier toe kan passen anders dan:
(e^ln(2) = 1) 2+1 = x maar dit klopt ook niet.

Het antwoord zou 2/e moeten zijn maar ik heb eerlijk gezegd geen idee hoe ik daarop zou kunnen komen.

Zou u mij in de goede richting kunnen helpen?

Met vriendelijke groet,
Gijs

Gijs
2-7-2018

Antwoord

Het lijkt er op dat je de verkeerde richting op gaat. Het idee van het oplossen van dit soort vergelijkingen is dat je de vergelijking omwerkt naar iets van deze vorm:

$\ln(A)=\ln(B)$ ^*)

Je weet dan dat $A=B$ en dan ben je de logaritme kwijt en dat is het doel waar naar wij allen streven...

Dat gaat zo:

$
\eqalign{
& \ln \left( {2x} \right) = 1 + \ln \left( {x^2 } \right) \cr
& \ln \left( {2x} \right) = \ln \left( e \right) + \ln \left( {x^2 } \right) \cr
& \ln (2x) = \ln \left( {ex^2 } \right) \cr
& ex^2 = 2x \cr
& ex^2 - 2x = 0 \cr
& x(ex - 2) = 0 \cr
& x = 0\,\,(v.n.) \vee ex - 2 = 0 \cr
& ex = 2 \cr
& x = \frac{2}
{e} \cr}
$

Houd het simpel! Helpt dat?

Op 7. Exponentiële en logaritmische vergelijkingen oplossen kan je meer vinden over het oplossen van logaritmische vergelijkingen.

^*) Dat is niet zo maar helemaal vanzelfsprekend, maar daarover later meer...

WvR
2-7-2018