WisFaq!

Complexe differentiaalvergelijking

Goede middag,
Er wordt gevraagd volgende DV op te lossen, enerzijds met de methode van de onbepaalde coëfficiënten en anderzijds met de methode van variatie van parameters.
Bij de eerste methode kom ik uit op
C(1)e^(-2x)+C(2)e^(x)+((x.e^(x))/3 wat correct is volgens Wolfram
Voor de tweede methode heb ik volgende berekening gemaakt...
y"+y'-2y=e^(x)
Homogene oplossing DV geeft:
r²+r-2=0 en wortels r(1;2)=(-2;1)
De homogenen vergelijking Y(h) heeft als oplossing;
Y(h) =C(1)e^(-2x) +C(2)e^(x)
Variatie van parameters :
Kies twee functies U(1) en U(2) die afhankelijk van x zijn en stel een Y(p), particuliere oplossing voor als volgt:
Y(p)= U(1)(x)e^(-2x)+U(2)e^(x)
Vorm nu een stelsel waarbij je:
a) Eerst de afgeleiden neemt van U(1)(x) en U(2)(x) en de "gekende functies overneemt na U(1)(x) en U(2)(x)
b) Dan de afgeleiden neemt van de gekende functies met behoud van de afgeleiden van U(1) en U(2) , zijnde U'(1)(x) en U'(2)(x) .
Hier gaan we dan
Stelsel:
a) U'(1)(x).e^(-2x) +C(2)(x)e^(x)=0(1)(stel VGL. gelijk nul)
b)-2U'(1)(x)e^(-2x) +c(2(x)e^(x)=e^x(2) (2de lid gegeven DV)
Oplossing leidt tot:
(2)vermenigvuldigen met (-1) dan krijgen we het wegvallen van U'(2)
3U'1)x)e^(-2x) =-e^(x)
U'1)(x) = -(e^(3x))/3 en U(1)(x) =-((e^(3x)/9
EN:
U'2(x)=1/3(wegvallen van e^x in beide leden.
Ingeven in Y(p) geeft dan :
y()= ((-e^(x))/9+(x)/3 terwijl de particuliere oplossing zou moeten zijn :
Y(p)=(xe^(x))/3.
Wat loopt er mis?. Ik kan het maar niet vinden maar zie nergens een tekenfout of iets anders dat flagrant zou zijn..
Wie helpt mij als daar de tijd voor is bij iemand van het Wisfaq- team ?
Groeten
Rik

Rik Lemmens
29-6-2018

Antwoord

De $-\frac19 e^x$ is een oplossing van de homogene vergelijking; als je die weglaat heb je nog steeds een particuliere oplossing.

kphart
29-6-2018