WisFaq!

Stelling van Cayley-Hamilton herleiden

Volgens de stelling van Cayley-Hamilton voldoet mijn 2×2 matrix M aan de vergelijking M²-3M-70I=0 $\to$ met I is de inverse matrix en de 0 wordt aangegeven als een 2×2 matrix vol met nullen.

Ik moet deze vergelijking herleiden tot M^-1 = 1/70M - 3/70I.

Ik kom tot de één na laatste stap en die is volgens de uitwerkingen nog goed: I×M^-1 = 1/70M×I - 3/70I .
Ik deel dan alles door I waardoor je krijgt: M^-1 = 1/70M - 3/70.

Achter die 3/70 hoort volgens de uitwerkingen nog een I te staan, maar ik snap niet hoe die daar kan blijven staan als je deelt door I. Is dit een fout van het uitwerkingenboek of heb ik zelf wat fout begrepen?

Bibi
22-6-2018

Antwoord

Je deelt nooit door een matrix; je vermenigvuldigt met de inverse. De inverse van $M$ is de matrix (als die bestaat) $X$ die voldoet aan $MX=XM=I$.
De matrix $I$ is de eenheidsmatrix, die voldoet aan $IA=AI=A$ voor elke (even grote) matrix $A$.
In de laatste stap kun je $I$ op twee plekken gewoon weglaten, want $I\times M^{-1}=M^{-1}$ bijvoorbeeld. Maar niet bij $3/70$ want $3/70$ is een getal en er moet een matrix staan.

kphart
23-6-2018