WisFaq!

Differentiaalvergelijkingen

Hallo,

Het SIR model beschrijft hoe een epidemie zoals de griep zich in de tijd over de bevolking verspreid. Dit model bestaat uit drie gekoppelde niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

$\eqalign{\frac{dS}{dt} = -\beta SI}$
$\eqalign{\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I}$
$\eqalign{\frac{dR}{dt} = + \gamma I }$

Er schijnt geen expliciete oplossing te zijn voor dit systeem, maar wel een parametrische.

Ik heb twee vragen:

1. Hoe weet je zeker of er geen explicite oplossing is voor een systeem systeem als dit? Met een expliciete oplossing bedoel ik een formule voor S, I en R met tijd als onafhankelijke variabele.
2. Wat is een parametrische oplossing?

Gerard
5-6-2018

Antwoord

1. Dat vergt geavanceerde algebra, zogeheten Differentiaalalgebra; daarvoor bestaat een Galoistheorie die karakteriseert wanneer een differentiaalvergelijking een oplossing in elementaire formulevorm heeft. Hieronder een link naar het artikel waarin het model werd geintroduceerd. Zie pagina 713 (14 in de PDF) $S$, $I$ en $R$ heten daar respectievelijk $x$, $y$ en $z$; daar wordt na enige manipulatie een differentiaalvergelijk voor $z$ (voor $R$ dus) afgeleid die aan de voorwaarden voldoet om geen elementaire oplossing te hebben.

2. Ik weet niet geheel zeker wat met een parametrische oplossing wordt bedoeld maar ik kan raden: het zou een relatie tussen de functies onderling kunnen zijn. Het geval wil namelijk dat je $R$ en $I$ makkelijk in $S$ kunt uitdrukken:
$$
\frac{dR}{dS}=-\frac\gamma\beta S^{-1}
$$en
$$
\frac{dI}{dS}=-1+\frac\gamma\beta S^{-1}
$$En dus $R=-\frac\gamma\beta\ln S +c$ en $I=-S+\frac\gamma\beta\ln S +d$.

Kun je de volledige formulering uit je bron geven? Dan zou ik misschien kunnen deduceren wat echt met `parametrisch' wordt bedoeld.

Zie A contribution to the mathematical theory of epidemics [http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/115/772/700]

kphart
6-6-2018