Je wilt aantonen dat:
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right)
$
Als je die termen uitschrijft krijg je:
$
\eqalign{\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$
De kunst is nu om alle termen aan de rechter kant te schrijven als:
$
\eqalign{\frac{{...}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}}}
$
Het is (als het ware) gelijknamig maken! Daarna kan je de termen rechts optellen en kijken wat er bij de teller moet staan...
Naschrift
Maar misschien is in de driehoek van Pascal kijken wel zo handig:
$
\begin{array}{l}
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 1} \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 1} \\
k \\
\end{array}} \right) = \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) \\
\end{array}
$
Gebruik daarbij de volgende eigenschap:
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1} \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n - 1} \\
k \\
\end{array}} \right)
$
WvR
1-6-2018