WisFaq!

Re: Re: Ellips die omvalt

Hallo,

Ja we snappen het. Nu maken we het iets ingewikkelder:

Stel je zet een paasei (prolate sferoide) omhoog dus dan is de lange straal a en de korte straal b. Het volume is dan 4/3$\pi$a·b² en het geprojecteerde oppervlakte is dan $\pi$b².
Nu doen we hetzelfde: het paasei valt om tot ie plat ligt.
Het volume is dan 4/3$\pi$a²·b en het geprojecteerde oppervlakte is dan $\pi$a².

Als je weer de verhouding neemt R=a/b, hoe kun je dan van een vallend of schuin paasei het geprojecteerde dwaasoppervlakte berekenen als functie van R?

Johan
27-5-2018

Antwoord

Nee, dat kan niet: $a$ en $b$ zijn vast en $R$ dus ook, maar de oppervlakte van de projectie is variabel.
Overigens: aan het eind in de oppervlakte van de projectie gelijk aan $\pi ab$.

Met een beetje rekenwerk kun je wel iets zeggen.

Je kunt de ellips het aslengten $2a$ en $2b$ parametriseren door middel van $x=a\cos t$ en $y=b\sin t$ met $0\le t\le2\pi$. Als je de elliips kantelt en hij staat op het punt $(a\cos t_0,b\sin t_0)$ dan kun je de breedte van de projectie op de $x$-as als volgt bepalen.

Je bepaalt eerst $t_1$ zó dat de raaklijn in $(a\cos t_1,b\sin t_1)$ nu verticaal is; dat komt neer op loodrecht staan op de raaklijn in $(a\cos t_0,b\sin t_0)$. Met behulp van het inwendig product zie je dat $t_1$ moet voldoen aan
$$
a^2\sin t_0\cdot\sin t_1 + b^2\cos t_0\cdot\cos{t_1}=0
$$ dat komt overeen met $a^2\tan t_1+b^2\operatorname{cotan}{t_0}=0$.
Daarmee kun je $t_1$ uitdrukken in $t_0$:
$$
t_1=-\arctan\left(\frac{b^2}{a^2}\operatorname{cotan} t_0\right)
$$ Als je $t_1$ hebt dan is de normale raaklijn in $(a\cos t_1,b\sin t_1)$ gegeven door
$$
b\cos t_1\cdot x+a\sin t_1\cdot y=a^2b^2
$$ De afstand van die lijn tot de oorsprong is gelijk aan
$$
d=\frac{a^2b^2}{\sqrt{b^2\cos^2t_1+a^2\sin^2t_1}}
$$ De projectie van je ei is nu een ellips met assen $b$ en $d$ en dus met oppervlakte
$$
\pi bd = \pi\frac{a^2b^3}{\sqrt{b^2\cos^2t_1+a^2\sin^2t_1}}
$$

kphart
27-5-2018