WisFaq!

Gooien met 2 dobbelstenen

Het gemiddeld aantal keren dat je met een dobbelsteen moet gooien voordat je alle getallen hebt gegooid is 14,7. Stel dat je gebruik maakt van twee dobbelstenen, hoeveel worpen heb je dan gemiddeld nodig? Uit simulaties komt een waarde van circa 7,6 maar kun je dit ook exact berekenen?

Dirk Lamberty
13-5-2018

Antwoord

Het kan, maar het is nogal bewerkelijk.
Om te beginnen geven we met $X$ het aantal worpen aan dat nodig is om alle waarden gezien te hebben. De verwachte waarde die je zoekt is dan
$$
\sum_{n=0}^\infty n\cdot P(X=n)
$$(er geldt hier dat $P(X=0)$, $P(X=1)$ en $P(X=2)$ gelijk zijn aan $0$, dus de som begint eigenlijk pas bij $n=3$).
Het lastige is het berekenen van de kansen $P(X=n)$ (voor $n\ge3$).

Het is handiger het eerst voor het werpen met één dobbelsteen te bekijken. De kans dat je na $n$ worpen of eerder alle waarden hebt gezien is gelijk aan het aantal rijtjes worpen die alle getallen $1$ tot en met $6$ bevatten, gedeeld door het totaal aantal rijtjes. Dat laatste aantal is gewoon $6^n$; het eerste aantal is lastiger te bepalen:
$$
\sum_{i=0}^6 (-1)^i\binom 6i (6-i)^n
$$je kunt een bewijs vinden in de link hieronder (het begint op bladzijde 6). Als je met $Y$ het aantal worpen aangeeft dat nodig is om voor het eerst alle waarden gezien te hebben dan hebben we hierboven $P(Y\le n)$ bepaald:
$$
P(Y\le n)=\frac1{6^n} \sum_{i=0}^6 (-1)^i\binom 6i (6-i)^n
$$Dan geldt natuurlijk $P(Y=n) = P(Y\le n)-P(Y\le n-1)$.

Terug naar de twee dobbelstenen: er geldt $P(X\le n)=P(Y\le2n)$ (in plaats van met twee stennen te gooien gooi je twee keer met één steen).
Dan krijg je de volgende formule voor je verwachte waarde
$$
\sum_{n=3}^\infty n\cdot\bigl(P(Y\le2n)-P(Y\le 2n-2)\bigr)
$$Maple kon die som exact uitrekenen:
$$
\frac{70219}{9240}
$$Overigens kun je de kansen $P(X\le n)$ ook direct gebruiken:
$$
\sum_{n=0}^\infty n\cdot P(X=n) =
\sum_{n=0}^\infty\left(1-P(X\le n-1)\right)
$$

Zie Dictaat: tellen [http://fa.its.tudelft.nl/~hart/blog/tellen.pdf]

kphart
13-5-2018