WisFaq!

Getallen door optellen

Stel je wenst een getal te bereiken door optelling van de cijfers 1, 2, 3, 4, 5, 6 waarbij de volgorde van belang is en waarbij herhaling mogelijk is.

Voorbeeld : het getal 7
7 = 1+1+1+1+1+1+1 aantal variaties = 1
7 = 2+1+1+1+1+1 aantal variaties = 6
7 = 2+2+1+1+1 aantal variaties = 10
7 = 2+2+2+1 aantal variaties = 4
7 = 3+1+1+1+1 aantal variaties = 5
7 = 3+2+1+1 aantal variaties = 12
7 = 3+2+2 aantal variaties = 3
7 = 3+3+1 aantal variaties = 3
7 = 4+1+1+1 aantal variaties = 4
7 = 4+2+1 aantal variaties = 6
7 = 4+3 aantal variaties = 2
7 = 5+1+1 aantal variaties = 3
7 = 5+2 aantal variaties = 2
7 = 6+1 aantal variaties = 2

Totaal aantal mogelijkheden = 63

Het voorbeeld met het getal 7 is nog vrij eenvoudig te bepalen doordat het aantal sommen hier nog beperkt blijft.

Maar stel dat je dit moet doen met een groter getal, bvb het getal 34. Dan ben je op bovenstaande manier toch wel een heel tijdje zoet en vandaar mijn vraag of er hiervoor geen algemene formule bestaat ?

Met dank,

Rudi

• 3. Tellen

Rudi
12-5-2018

Antwoord

Hallo Rudi,

Om te bepalen op hoeveel manieren we het getal 7 kunnen opsplitsen in de getallen 1 t/m 6, zodanig dat de som gelijk is aan 7, stellen we het getal 7 voor als 7 stippen op een rij:

.......

Het opsplitsen stellen we voor als streepjes tussen de stippen. Enkele voorbeelden: 7=2+2+3 kunnen we voorstellen als:

..|..|... : 7=2+2+3
....|.|.. : 7=4+1+2
.|..|.|..|. :7=1+2+1+2+1
enz.

Eigenlijk komt het erop neer dat we voor elke ruimte tussen twee streepjes moeten beslissen of er een streepje komt of niet. Bij n stippen zijn er n-1 tussenruimtes. Er zijn dan 2^(n-1) mogelijkheden om te 'knippen'. Echter: volgens de door jou gegeven regels moet er minimaal één streepje zijn, want 0 streepjes (7 stippen op rij, 7=7) is niet toegestaan. Zo komen we op een totaal aantal mogelijkheden van 2^(n-1)-1.

GHvD
12-5-2018