WisFaq!

Met behulp van tekst formules opstellen

Beste,

Met de volgende vraag loop ik vast:

Om de concentratie van CO langs een verkeersweg te bepalen pompen we de vervuilde buitenlucht in een monsterfles met mengschoten. Na enige tijd wordt de fles afgesloten en voor onderzoek meegenomen. De inhoud van de fles bestaat dan voor een gedeelte P uit vervuilde lucht, en voor een deel 1-P uit schone lucht. We willen P(t) bepalen.
De fles heeft een inhoud van V=0.5 L. Het pompje heeft een snelheid van 1.5 L/min.

• Hoeveel liter verontreinigde lucht bevat de fles op tijdstip t, uitgedrukt in P(t)?
• Stel een balansvergelijking op voor het volume van de verontreinigde lucht in de fles.
• Stel een differentiaalvergelijking voor P(t) op.

Bij de eerste vraag dacht ik dat 1-P gelijkgesteld moest worden aan 0.5L omdat dit het volume is, maar blijkbaar is dit niet correct.. Zou u mij kunnen helpen met hoe dit wel moet?

Verder snap ik totaal niet hoe ik de tweede vraag moet aanpakken, zou u mij opweg kunnen helpen?

Bij het opstellen van een differentiaalvergelijking, weet ik dat de vergelijking gedeeld moet worden door de (in dit geval) delta t, maar wat ik niet begrijp is hoe er dan plots een afgeleide kan ontstaan terwijl er boven de deelstreep een hele vergelijking staat. (Dit kwam ook voor bij een eerdere vraag, maar omdat het hier ook voorkomt besloot ik dit hier in een keer te vragen)

Bij voorbaat dank!

A
11-5-2018

Antwoord

Wanneer p de proportie vuile lucht is in de fles, en de fles heeft een volume van 0,5 liter, dan bevat de fles p·0,5 liter vuile lucht en (1-p)·0,5 liter schone lucht. Wanneer p afhangt van t (zoals in dit geval), dan noteren we dit als p(t). Het volume vuile lucht in de fles, uitgedrukt in p(t), is zodoende:
V(t)_{vuile lucht}=0,5·p(t).

Met de balansvergelijking wordt bedoeld: 'de snelheid waarmee het volume vuile lucht in de fles toeneemt, is gelijk aan de volumestroom vuile lucht die de fles in gaat, verminderd met de volumestroom vuile lucht die de fles uit gaat'.
De volumestroom vuile lucht naar binnen is gegeven:
^dV/_dt,in=1,5 l/min.

Uiteraard stroomt er in totaal ook 1,5 l/min lucht de fles uit, maar dit bestaat uit p·1,5 l/min vuile lucht, de rest is schone lucht. Ofwel:
^dV/_dt,uit=p·1,5 l/min.

Voor de snelheid waarmee het volume vuile lucht binnen in de fles verandert, volgt uit de balansvergelijking:

^dV/_{dt,binnen de fles}=^dV/_dt,in-^dV/_dt,uit
^dV/_{dt,binnen de fles}=1,5-p·1,5
^dV/_{dt,binnen de fles}=1,5(1-p)

Bij de eerste vraag hadden we al gevonden:
V_{vuile lucht in fles}=0,5·p
dus ook:
dV=0,5·dp

(Het volume vuile lucht verandert half zo snel als de proportie. Dit konden we ook wel raden: als de proportie vuile lucht zou veranderen van 0 naar 1, dan verandert het volume vuile lucht in de fles van 0 naar 0,5 liter).

De balansvergelijking wordt hiermee:
0,5·^dp/_dt=1,5(1-p)
^dp/_dt=3(1-p)

Hiermee is de differentiaalvergelijking voor p(t) klaar. Deze is op te lossen met behulp van de methode 'scheiden van variabelen':

¹/_(1-p)·dp = 3·dt
enz.

GHvD
12-5-2018