WisFaq!

Integraal berekenen van sin en cos

Geachte heer,

Ik probeer een integraal berekening te maken, waarin sin x en cos x zijn verwerkt, ik heb geprobeerd tevergeefs de substitutie methode toe te passen.
$$
\eqalign{\int\limits_0^{\frac{1}
{2}\pi } {\frac{{\sin (2x)}}
{{\cos (2x) - \cos ^2 (x) + 2\cos (x) + 2}}\,\,dx}}
$$Hoe kan ik deze integraal dan oplossen ?

Verder doe ik ook u toekomen een screenshot van deze
integraal berekening. Bijvoorbaat bedankt voor uw medewerking.

Radjan
17-4-2018

Antwoord

Door de verdubbelingsformule voor de cosinus in de noemer toe te passen en $u=\cos(x)$ te substitueren krijg je:
\[-2\int_1^0 \frac{u}{(u+1)^2}du\]Als je opsplitst in partieelbreuken krijg je
\[-2 \int_1^0 \frac{1}{u+1}-\frac{1}{(u+1)^2}du \]Hier zie je twee fundamentele integralen terug en je vindt:
\[ -2\left[\ln|u+1|+\frac{1}{u+1}\right]^0_1= -2 -(-2(\ln 2 +1/2))=2\ln2-1 \approx 0,386 \]Maakt dit het wat duidelijker?

js2
17-4-2018