WisFaq!

Afstand tot oorsprong

Geachte,

Kunt u mij helpen bij het volgende probleem?

Gegeven: $f(x)=(x+1)·e^{1-x}$

Bereken het punt op de grafiek dat het dichtst bij de oorsprong ligt.

Ik dacht twee oplossingen:

1. de grafiek van f(x) snijden met de lijn g(x) = ax
   en dan oplossen f=g en f'. g'=-1
   Er rollen dan via GRM 2 punten uit (1,45; 1,56) en (-0,98;0,14) Dit laatste ligt het dichts bij O
2. tweede oplossing:
   punt op f(x) A = (x,(x+1)e ^1-x)
   dan d(O,A) = √x²+(x+1) e^1-x)²
   minimaal als x² + (x+1)².e^2-2x minimaal is
   Dan de afgeleide hiervan nul stellen; 2x + (-2x²-2x)e^2-2x=0
   Daar komt 1 punt uit nl. (1,45; 0,41)

Blijkbaar doe ik iets fout, maar na (lang) zoeken kan ik mijn fout nog steeds niet vinden. Kunt u mij helpen?

katrijn
12-4-2018

Antwoord

Ik krijg zelfs drie punten: de afgeleide is
$$
2x(1-(x+1)\mathrm{e}^{2-2x})
$$Nul stellen geeft $x=0$ of $(x+1)\mathrm{e}^{2-2x}=1$.
Die laatste vergelijking heeft twee oplossingen: de $x$-waarden die je bij a) hebt gevonden.

Verder klopt het punt bij b) niet: je moet die $1.45$ wel in $f$ invullen. Als je de grafiek van $x^2+f(x)^2$ plot zul je zien dat er bij $x=0$ een lokaal maximum optreedt.

kphart
12-4-2018