WisFaq!

Re: Toepassing van de integraalrekening

Beste,

Hartelijk dank voor uw reactie. Echter heb ik het probleem dat wat ik ook probeer ik niet bij het antwoord van 7000/3 J uitkom.

Ik heb de volgende methode gebruikt:
W = F · s
De kracht van de zak cement is 500N dus die blijft constant en het touw wordt steeds lichter (zoals u mij als tip heeft gegeven). Dus het totale gewicht van de opstelling is 500 + gewicht touw · afstand = 500 + 1·8 = 508. Dus dan wordt de formule W = 508 - 8·s. Omdat s afhankelijk is van de tijd ga ik die integreren. Daaruit volgt W = $\int{}$508-8·s ds. Met als bovengrens 0 en ondergrens 8. Wanneer ik deze integreer, en de integratiegrenzen invul, wijkt mijn antwoord erg af van dat van het boek.

Ik weet niet wat of waar ik het fout doe.

Graag hoop ik dat u mij hierbij kan helpen.

Met vriendelijke groet,

Erwin

Erwin den Boer
8-3-2018

Antwoord

Hallo Erwin,

Een totale hoeveelheid arbeid van 7000/3 J kan niet kloppen: in mijn vorige antwoord heb ik laten zien dat de arbeid die nodig is om de zak cement op te hijsen al 4000 J is. Dus of het gegeven antwoord is fout, of ik heb de vraag niet goed begrepen.
Ik ga ervan uit dat de totale lengte van de kabel 8 meter is, en dat deze bovenin om een trommel wordt opgerold. In dat geval vergt alleen het ophijsen van het vrij hangende deel arbeid. Deze arbeid is als volgt te berekenen:

We gebruiken de formule W=∫F.ds
Echter, deze formule gaat ervan uit dat de kracht F en de verplaatsing ds dezelfde richting hebben. In ons geval is ds omhoog gericht en de zwaartekracht omlaag, dan wordt de formule:

W_{op kabel} = -∫F_z·ds

Het gewicht van de kabel is 1 N/m. De zwaartekracht op s meter kabel is dan s newton. We vinden:

W_{op kabel} = -∫s·ds
W_{op kabel} = -¹/₂s²

Tijdens het hijsen verandert s van 8 tot 0 meter, dus:

W_{op kabel} = (-¹/₂·0²) - (-¹/₂·8²)
W_{op kabel} = 0 + 32 = 32 J

De totaal te leveren arbeid voor cement en kabel komt hiermee op 4000+32=4032 J.

Alternatieve methode:
Het gewicht van de kabel is 8 N. Wanneer de kabel van 8 meter lang recht naar beneden hangt, dan is het zwaartepunt 4 meter onder het ophangpunt. Wanneer de kabel geheel is opgehesen, dan is het zwaartepunt bovenin. Het zwaartepunt is dus 4 meter omhoog gehesen. De benodigde arbeid is F·s = 8·4 = 32 J.

GHvD
8-3-2018