WisFaq!

Re: Meetkundige plaats van een snijpunt van 2 rakende cirkels aan 2 vaste cirke

Ik volgde jou voorstel, nl. een inversie kiezen met centrum D en straal DA.

De cirkel met diameter AD is dan het beeld van de lijn AR. De cirkel (D, DA) is dan tevens middencirkel van de rakende cirkels (C1) en (C2). Tevens is het zo dat de raakcirkels
(K1) en (K2) orthogonaal worden gesneden door de middencirkel (D, DA); dit heeft tot gevolg dat de cirkels (K1) en (K2) in zichzelf worden omgezet, na toepassing van die inversie met inversiecirkel (D,DA).

Neem nu eens Q als beeld van P onder deze inversie. Door P passeren (K1) en (K2) en P is bijgevolg een snijpunt van die cirkels.

Daar (K1) en (K2) in zichzelf worden omgezet, na toepassing van de inversie met inversiecirkel (D,DA), zal het beeld Q van P overeenkomen met een tweede snijpunt van (K1) en (K2). Dit betekent dus dat Q gelegen is op de cirkel met middelpunt N.

Je stelde mij dan 2 vragen:

1/ Hoeveel cirkels zijn er door P en Q die raken aan (C1)? Antwoord: 2 cirkels (zie ook deel a) van de opgave).
2/ Waarom raken die ook aan (C2)? Antwoord: Daar de cirkel (D,DA) middencirkel is tussen (C1) en (C2) zal het raakpunt T1 resp. T3 van de cirkels (C1) en (K1) resp. cirkels (C1) en (K2) afgebeeld worden op het raakpunt T2 resp. T4 van (K1) en (C2) resp. (K2) en (C2).

Mijn besluit: dit toont dus aan dat Q (2e snijpunt van (K1) en (K2)) op de cirkel met middellijn AD moet liggen. Dit betekent dan ook dat hoek AQD = 90° en dus ook AQ²+DQ²=AD²= constante, dus volgens een werkstuk uit mijn handboek volgt dat de meetkundige plaats van Q de cirkel (N, AD/2) met N het midden van AD.

Ik ga er van uit dat je nog beschikt over de figuren die ik vorige zaterdag heb doorgestuurd naar WisFaq.

VRAAG: Kan je akkoord gaan met deze oplossing gebaseerd op je tip?

In elk geval hartelijk dank voor je tussenkomst!! Ik heb hier echt wel iets uit geleerd.

Yves De Racker
28-2-2018

Antwoord

Hallo Yves,

Zeker kan ik akkoord gaan.

Een klein ding: Je besluit is dubbelop. Je schrijft 'dit toont dus aan dat Q (2e snijpunt van (K1) en (K2)) op de cirkel met middellijn AD moet liggen.' Eigenlijk gaat het nog een stapje verder, want deze cirkel is het inverse beeld van de lijn AR. Dus heel de cirkel (met uitzondering van een limietpunt) verschijnt als beeld. Hetgeen je daarna meldt, over hoek AQD en verder, lijkt me overbodig.

Met vriendelijke groet,

FvL
1-3-2018