WisFaq!

Goniometrische vergelijkingen

Hallo,

Ik zat een beetje vast met de volgende vraag:

Los sin²(2x)=1/2 op. Dit is wat ik gedaan had:

sin(2x)= +/- sqrt(2)/2

1) sin(2x)= sqrt(2)/2
2x= (Pi/4)+2kPi OF 2x= 3Pi/4 - 2kPi
x= (Pi/8)+kPi OF x= 3Pi/8 - kPi

2) sin(2x)= -sqrt(2)/2
2x= (-Pi/4)+2kPi OF 2x= 5Pi/4 - 2kPi
x= (-Pi/8)+kPi OF x= 5Pi/8 - kPi

Ik moet enkel uitkomen op x= (Pi/8)+kPi/4, maar ik weet niet goed wat ik fout doe en hoe ik hierop moet komen.

Alvast bedankt!

Jan
24-2-2018

Antwoord

Beste Jan,

Je oplossing is prima; de modeloplossing is enkel een compactere (en elegantere?) manier om de oplossingen te noteren.

Merk op dat $-\tfrac{\pi}{8}$, $\tfrac{\pi}{8}$, $\tfrac{3\pi}{8}$ en $\tfrac{5\pi}{8}$ telkens precies $\tfrac{2\pi}{8}=\tfrac{\pi}{4}$ uit elkaar liggen en $\tfrac{\pi}{4}$ voorbij $\tfrac{5\pi}{8}$ zit je weer bij $-\tfrac{\pi}{8}$, maar dan $2\pi$ verder.

Ga dus na dat de oplossingen die vervat zitten in:
$$x=\tfrac{\pi}{8}+k\pi \;\vee\; x=\tfrac{3\pi}{8}+k\pi \;\vee\; x=-\tfrac{\pi}{8}+k\pi \;\vee\; x=\tfrac{5\pi}{8}+k\pi \quad \left( k \in \mathbb{Z}\right)$$precies dezelfde zijn als de oplossingen gegeven door:
$$x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4} \quad \left( k \in \mathbb{Z}\right)$$mvg,
Tom

td
24-2-2018