WisFaq!

Denkstappen bij deze ongelijkheden met normen en absolute waarden

Beste,
Ik snap de volgende stappen niet, zou iemand mij de denkstappen of uitgebreidere rekenstappen/rekenregels hierachter kunnen uitleggen?

1. y² + |x||y| ≤ 2·||(x,y)||²
2. |x||xy| ≤ ||(x,y)||³
3. |(x-1)² + y² - 2y(x-1)| ≤ 4||(x-1,y)||²
4. xy ≤ 0.5x² + y²

Alvast bedankt!

Walter Nap
15-2-2018

Antwoord

Je kunt beginnen met $\|(x,y)\|$ te vervangen door $\sqrt{x^2+y^2}$, dan zie je misschien al meer.
Daarnaast helpen deze driehoeksongelijkheden ook wel
$$
|x|\le\|(x,y)\| \hbox{ en } |y|\le\|(x,y)\|
$$Daar volgt nummer 2 meteen uit.
Daarnaast heb je
$$
|x||y|\le\frac12(x^2+y^2)
$$(ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde). Hiermee (en met de vorige) los je 1 en 4 snel op.
Bij de derde doe je eerst de driehoeksongelijkheid
$$
|(x-1)^2+y^2-2y(x-1)|\le(x-1)^2+y^2 +2|y(x-1)|
$$daarna pas je weer de ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde toe.

kphart
16-2-2018