WisFaq!

Van samengestelde cdf naar samengestelde pdf

Beste,
Ik ben een vraag tegengekomen in mijn boek die stelde:
voor continue variabelen X en Y geldt F(x,y)=
0.5xy(x+y) als 0$<$x$<$1,0$<$y$<$1
0.5x(x+1) als 0$<$x$<$1,y$\ge$1
0.5y(y+1) als 0$<$y$<$1,x$\ge$1
1 als x$\ge$1,y$\ge$1

Hoe kan ik hiervan de samengestelde pdf vinden? Ik weet dat dit gedaan kan worden door te differentiëren maar kan het goede antwoord (f(x,y)=x+y) maar niet zien te vinden. Ook: hoe zou ik dan dmv deze pdf P(X+Y$<$0.5) kunnen vinden?

Alvast erg bedankt

Walter Nap
23-1-2018

Antwoord

De regel, die vast wel in je boek staat is
$$
f(x,y)=\frac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}F(x,y)
$$het probleem is dat dit alleen $x+y$ oplevert in het vierkant $[0,1]^2$; voor $x,y\ge1$ is $F$ constant $1$, dus daar geldt $f(x,y)=0$. In de andere twee gebieden gebeurt iets dergelijks.
Maar $X+Y $<$ 0.5$ speelt zich geheel binnen het vierkant $[0,1]^2$ af en daar kun je met de integraal van $x+y$ toe:
$$
\int\!\!\!\!\int_D x+y\,d(x,y)
$$Waarbij $D=\{(x,y):x+y\le0.5\}$.

kphart
24-1-2018