WisFaq!

Kettingregel in macht

Hoe differentiër je: x^x oftewel e^{x·ln x}? Ik weet dat er al een vraag is die hier over gaat, maar daar word niet goed uitgelegd hoe je de kettingregel hierin moet gebruiken. En in het algemeen, hoe gebruik je bijvoorbeeld de kettingregel in deze situatie: xxx

Alvast hartelijk bedankt!!

Rens Smittenaar
15-3-2003

Antwoord

Op Wat is de afgeleide van f(x)=x^x? staat inderdaad niet 'uitgelegd' hoe de kettingregel wordt gebruikt, maar die ken je toch al?

Maar we zijn nooit te beroerd om een poging te wagen:

f(x)=x^x=e^x·ln(x)
kies u=x·ln(x)
dan is f(x)=e^u
dy/du=e^u
du/dx=x·¹/_x+1·ln(x) (produktregel!)
du/dx=1+ln(x)
f'(x)=dy/du·du/dx=e^x·ln(x)·(1+ln(x))=x^x·(1+ln(x))

De tweede 'functie' heeft niet 'unbedingt' met de kettingregel te maken. De afgeleide bepalen gaat het handigst met gebruik van gebroken exponenten.

f(x)=ÖxÖxÖx=x^1/₂·x^1/₂·x^1/₂=x^11/₂
f'(x)=1¹/₂x^1/₂=1¹/₂Öx

Maar het kan wel... schrijf de functie maar eens als:
f(x)=(Öx)³

WvR
15-3-2003