WisFaq!

Re: Kans op dezelfde kaarten bij een kaartspel

32!/(8!·24!)=

In mensentaal betekent dit : faculteit : totaal aantal mogelijkheden met kaarten ?

/ omdat er voorwaarden zijn ?( 8 kaarten per persoon)
8 faculteit : aantal mogelijkheden met 8 kaarten
- is vermenigvuldigd met
24 faculteit : hier begrijp ik niet waarom er 24 staat ??

Kan u dit even kort duiden aub ?
J.

Dauwe
17-1-2018

Antwoord

Hallo Dauwe,

Laten we eerst eens kijken op hoeveel manieren je 8 kaarten uit een deck van 32 kunt trekken. Voor de eerste kaart heb je 32 mogelijkheden. Bij elk van deze mogelijkheden heb je voor de tweede kaart nog 31 mogelijkheden over. Voor de twee eerste kaarten heb je dus 32·31 mogelijkheden.
Zo gaan we door totdat we 8 kaarten hebben getrokken. Het aantal mogelijkheden is dan:

32·31·30·29·28·27·26·25

Een handige manier om dit met standaard-functies op de rekenmachine uit te rekenen, is 32!/24!. Immers, 32! geeft ditzelfde rijtje weer, maar dan helemaal door tot uiteindelijk ...3·2·1. Het rijtje 24·23·22·...·3·2·1 (dus: 24!) hebben we dan 'te veel genomen', maar we delen ook weer door 24!, dus dan is dit weer correct. Zo komen we voorlopig op 32!/24! mogelijkheden.

Maar: hierin zitten wel dubbel getelde combinaties van kaarten. Stel, ik noem één mogelijk setje kaarten even ABCDEFGH. Dan is HGFEDCBA ook één van de mogelijkheden, evenals AHGBCDFE en elke andere volgorde die ik voor diezelfde kaarten kan vinden. Maar al deze volgordes geven hetzelfde setje kaarten weer, en moeten dus niet als aparte mogelijkheden worden geteld. Het aantal van 32!/24! mogelijkheden moet nog worden gedeeld door het aantal volgordes dat ik voor eenzelfde setje kaarten kan vinden.

Het bepalen van dit aantal volgordes gaat op dezelfde manier: voor de eerste plek zijn 8 kaarten beschikbaar, voor de tweede plek nog 7, dan nog 6 enz. Het aantal volgordes is dus 8·7·6·5·4·3·2·1, dus 8! Ons voorlopige aantal moeten we dus nog delen door 8! om ervoor te zorgen dat eenzelfde setje maar één keer wordt geteld. Zodoende:

Het aantal mogelijkheden om 8 kaarten te trekken uit 32, is 32!/(24!·8!).

Zie ook Combinaties.

GHvD
17-1-2018