WisFaq!

Re: Re: Re: Re: Re: Re: Integreren

Ik ben zelf iets anders te werk gegaan:

Ik ga voor de gegeneralizeerde beta verdeling even uit van:

h(y):=(abs(a)*y^(a*p)*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)^q)/(y*(1-((y)/(b))^a+c*((y)/(b))^a)*b^(a*p)*Beta(p,q)*(1+c*((y)/(b))^a)^p*(1+c*((y)/(b))^a)^q);

Als ik dan, zoals U ook al voorstelde, neem:

c:=0;

a:=1;

p:=1;

dan krijg ik:

h(y):=((1-(y)/(b))^q*q)/((1-(y)/(b))*b);

met 0 y b. Nu is h(y) een functie met slechts twee parmeters nasmelijk b en q. Dat zou dus betekenen dat, als g(t):

g(t):=M^(-(M*a[0]*c[1]-a[0]*a[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))*(M*a[0]*c[1]+a[1]*c[0])*(-t*a[1]+M)^((M*a[0]*c[1]-a[0]*a[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))/(a[0]*M);

met 0 t M/a[1] geschreven kan worden als h(y), g(t) uiteindelijk een functie is, die te herleiden zou moeten zijn tot een functie met slechts twee parameters. Dat kan ook wel kloppen. Want alle ruwe momenten van g(t) die groter zijn dan 2 kunnen worden beschreven in termen van het eerste en tweede ruwe moment. Omdat in g(t) geldt 0 t M/a[1] moet ik in

h(y):=((1-(y)/(b))^q*q)/((1-(y)/(b))*b);

nemen b = M/a[1[. Als ik dan ook nog i.p.v. de variabele y de variabele t neem, krijg ik:

h(t):=((1-(t)/((M/a[0])))^q*q)/((1-(t)/((M/a[0])))*(M/a[0]));

Als ik vervolgens neem

h(t) = g(t) dan kan ik q oplossen. Ik krijg dan als oplossing een Lambert functie:

q:=LambertW(ln((-t*a[0]+M)/M)*M^(-(M*a[0]*c[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))*(-t*a[1]+M)^((M*a[0]*c[1]-a[0]*a[1]+a[1]*c[0])/(a[0]*a[1]))*(-M*t*a[0]^2*c[1]+M^2*a[0]*c[1]-t*a[0]*a[1]*c[0]+M*a[1]*c[0])/a[0]^2)/ln((-t*a[0]+M)/M);

In de opossing voor q komt de variabele t nog steeds voor.

Als ik vervolgens neem:

a[0]:=0.3;c[0]:=0.7;a[1]:=0.5;c[1]:=0.8;M:=5;t:=0.01;

Dan krijg ik voor q twee waarden namelijk 17.22915404 en 10739.08106

Met het Maple-commando 'simplify' krijg ik daarna echter maar één waarde, namelijk 17.22915404

Kennelijk kan de Lambert functie LambertW nog vereenvoudigd worden. Misschien is er dus een eenvoudigere oplossing voor q.

Ad van der Ven
7-1-2018

Antwoord

Hierboven worden af en toe $a_0$ en $a_1$ verwisseld; ik hou het op $a_0$, zoals in de oorspronkelijke vraag.
In mijn vorige antwoord heb ik laten zien dat $g(t)$ laat zich vereenvoudigen tot
$$
c_0 M^{-(p+q)}\cdot\frac{p+q}{q}\cdot(M-a_0t)^{p+q-1} = M^{-(p+q)}\cdot a_0 (p+q)\cdot(M-a_0t)^{p+q-1}
$$
met $p=Mc_1/a_1$ en $q=c_0/a_0$ (dat zijn niet de $p$ en $q$ van de gegeneraliseerde beta-verdeling maar mijn afkortingen); we kunnen dit verder vereenvoudigen door $p+q$ door één letter, zeg $r$, te vervangen. We krijgen dan
$$
M^{-r}\cdot a_0\cdot r\cdot(M-a_0t)^{r-1}
$$
met $r=\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}$ natuurlijk.

Terug naar het ombouwen tot gegeneraliseerde beta-verdeling: de oplossing(en) voor $q$ zouden onafhankelijk van $t$ moeten zijn en uit de handmatige vereenvoudiging van het vorige antwoord is een veel eenvoudiger formule voor $q$ gerold. Die formule krijgen we ook als we $h(y)$, wederom handmatig, wat vereenvoudigen, er komt
$$
b^{-q}\cdot q\cdot (b-y)^{q-1}
$$
Dat ziet er net zo uit als de formule voor $g(t)$ en we zien dat we er zijn met $b=M$, $y=a_0t$ en $q=\frac{Mc_1}{a_1}+\frac{c_0}{a_0}$.
NB de extra $a_0$ in de formule van $g(t)$ verdwijnt bij transformatie van de bijbehorende integralen: $\mathrm{d}y=a_0\,\mathrm{d}t$.

kphart
7-1-2018