WisFaq!

Re: Re: Bij de standaarddeviatie delen door n-1?

Beste,

Ik begrijp dat het gemiddelde van de steekproef niet het populatiegemiddelde is. Evenzo dat de spreiding binnen de steekproef ook niet de populatiespreiding is. Dat delen door n-1 een betere schatter geeft dan delen door n. Kan je dat BEWIJZEN?

Als ik de steekproef groter en groter maak eindig ik uiteraard met de populatie zelf en die kan toch maar EEN spredingsdefinitie hebben. Vertrek ik vanuit de steekproef moet ik dus delen door N -1 ( N=eindig aantal elementen van de populatie), als ik vertrek vanuit de populatiespreidingsdefinitie moet ik delen door N.

Kunt u mij helpen in deze "asymptotische" redenering?

follens
19-12-2017

Antwoord

Ik denk dat er van het begin wat spraakverwarring heeft geheerst.

Er zijn drie dingen in het spel: een populatie, een steekproef, en een onderliggende kansverdeling. De eigenschap die we onderzoeken - lengte, gewicht, ... - is onderhevig aan een kansverdeling, met verwachting $\mu$ en variantie $\sigma^2$. We willen weten wat die twee getallen zijn, daartoe nemen we een steekproef, $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, uit de populatie. Het resultaat van de meting aan $x_i$ noemen we $X_i$. De verwachting van $X_i$ is gelijk aan $\mu$, de variantie van $X_i$ is $\sigma^2$.

Het gemiddelde, $\bar X$, van de eigenschap gemeten aan onze steekproef is een zuivere schatter van $\mu$. Dat betekent dat de verwachting van het gemiddelde gelijk is aan $\mu$; dat is zo uitgerekend: alle $X_i$s hebben verwachting $\mu$, dus $\mathrm{E}\bar X=\frac1n\cdot n\mu=\mu$.

Als je de verwachting van $\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$ uitrekend kom je precies uit op $\sigma^2$ (de link hieronder heeft drie afleidingen); dat is dus een zuivere schatter van $\sigma^2$. De steekproefvariantie gedeeld door $n$ heeft die eigenschap niet.

Echter: de hele populatie is ook een steekproef voor de onbekende kansverdeling: de variantie van die populatie gedeeld door het aantal individuen is ook geen zuivere schatter van de variantie van de onderliggende kansverdeling.

Wat we eerder verward hebben zijn de variantie van de kansverdeling en de variantie van de populatie (gedeeld door $n$); die twee zijn gerelateerd maar niet uitwisselbaar.

Zie Bessel's Correction [https://en.wikipedia.org/wiki/Bessel's_correction#Formula]

kphart
20-12-2017