WisFaq!

Partieel integreren

Hallo, ik heb op jullie website gekeken op de pagina partieel integreren. Ik snap alleen de stappen die worden genomen bij voorbeeld 1 niet helemaal. Zouden jullie mij deze uit kunnen leggen?

Bepaal de primitieve van: f(x) = x·ln(x)

Alvast bedankt!

Bo
18-12-2017

Antwoord

Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:

$
\int {f(x)g'\left( x \right)} \,dx = f\left( x \right) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx}
$

Op grond van 3. Partieel integreren is nu de vraag:

• Wat neem ik voor $f$ en wat neem ik voor $g$?

Neem voor $f$ de functie $f(x)=\ln(x)$. Je krijgt dan:

$f(x)=\ln(x)$
$f'(x)=\frac{1}{x}$
$g(x)=\frac{1}{2}x^2$
$g'(x)=x$

Invullen geeft:

$
\int {x \cdot \ln (x)\,dx = \int {\ln (x) \cdot x\,\,dx = \ln (x) \cdot \frac{1}
{2}} } x^2 - \int {\frac{1}
{2}} x^2 \cdot \frac{1}
{x}\,dx = \frac{1}
{2}x^2 \ln (x) - \frac{1}
{4}x^2
$

...en dan ben je er wel uit denk ik.

TIP
In sommige gevallen is het handig om voor $f$ de functie te nemen waarvan de afgeleide eenvoudiger wordt. In 't algemeen zijn $e^{x}$ of $ln(x)$ geschikte kandidaten.

• Een praktische tip

WvR
18-12-2017