WisFaq!

Algebraïsche structuren

We definiëren een OGIB (overal gedefinieerde inwendige bewerking) in RxR als volgt: (a,b).(c,d) = (ac-bd,ad+bd)
a) is er een éénheidselement?
b) heeft (a,b) een omgekeerde?

het éénheidselement heb ik gevonden, nl n=(1,0)
omdat (a,b).n = (a,b) = n.(a,b)
stel n= (x,y)
dan (ax-by, ay+bx) = (a,b)
daaruit volgt dat n (1,0) is

b) stel nu (x,y) is het omgekeerde
dan geraak ik niet meer verder...

Lies
14-3-2003

Antwoord

Als (x,y) de inverse is van (a,b), dan moet (a,b).(x,y) = (1,0) zijn. Merk overigens op dat de gedefinieerde bewerking commutatief is!
Dat geeft:
ax-by = 1 en bx + ay = 0.
Dit is een lineair stelsel met 2 variabelen x en y. Door de eerste vergelijking te vermenigvuldigen met b en de tweede met a, krijg je het stelsel abx - b²y = b en abx + a²y = 0.
Aftrekken van dit tweetal levert direct de y op, uitgedrukt in a en b.
Daarna is de x er ook direct.

MBL
14-3-2003