WisFaq!

Een exacte uitkomst krijgen bij grote machten

Ben er niet zeker van of het onderwerp bij REKENEN hoort of bij ALGEBRA, maar vanwege m'n onlangs opgelopen virus voor GETALLENLEER gok ik op REKENEN. Ik ben op zoek naar een methode om een exacte uitkomst te krijgen voor grote machten. Als ik een getal met een bepaald grondtal omzet in een ander getal met een ander grondtal, dan wil ik dat die omzetting exact is. Ofwel 5³=125$\to$2^6,96578...=125. Op de rekenmachine of in een spreadsheet is het nog te doen, dwz het verschil tussen beide uitkomsten is 0. Ga je naar heel grote machten dan veroorzaken afbreek- en afrondingsfouten in ons rekentuig langzamerhand foutjes in de uitkomst. Mijn vraag is nu: is er in de wiskunde een methode die garandeert dat beide uitkomsten gelijk EN exact zijn?

Hans Maas
2-11-2017

Antwoord

Het korte antwoord is `nee'. Zo te zien gaat het om natuurlijke getallen. Om bij het voorbeeld van $2$ te blijven: als $q$ een rationaal getal is dat geen geheel getal is dan is $2^q$ irrationaal (dat bewijs je vrijwel net zo als de irrationaliteit van $\sqrt2$). Dit betekent dat het getal $x$ waarvoor $2^x=125$ irrationaal is; dat maakt `exact rekenen' met behulp van een machine met eindige precisie moeilijk, zo niet onmogelijk. De vermelde exacte uitkomsten zijn dat niet: de verschillen vallen binnen de precisie van het apparaat en worden daarom als $0$ gerapporteerd.
De oplossing is symbolisch rekenen: het getal $x$ waarvoor $2^x=125$ noteren we als ${}^2\log125$ en we werken verder met die uitdrukking.

kphart
2-11-2017