WisFaq!

Limiet met arctan

Geachte heer,

ik heb nl.de functie f(x) = acosx - (sin2bx)/x voor x$<$0
= x³ -3bx² + x + c voor 0$\le$x$\le$2
= (2arctan(¹/₂px - 1) - ¹/₂·$\pi$)/x-2 voor x$>$2

en f is continu op $\mathbf{R}$, waarbij op interval $<$0,2$>$ een buigraaklijn evenwijdig met lijn y = -2x+3, bereken dus a, b, c en p...

Als 1ste heb ik uitgerekend:

lim x links van 0 acosx - (sin2bx)/x = lim x rechts van 0 x³ -3bx² + x + c

a·1 - 1 · 2 · b = c
a - 2b = c

Ik heb nl.de limiet van links zowel rechts van 0 aan elkaar gelijkgesteld, maar nu zit ik met het uitwerken van het volgende :

lim x²+x³ -3bx² + x + c = lim x rechts 2 (2arctan(¹/₂px - 1) - ¹/₂·$\pi$)/x-2

buigraaklijn zijn r.c. is -2 dus : (x³ -3bx² + x + c)·=
3x²-6bx+1 = -2
3x²-6bx+3 = 0

Buigraaklijn raakt in 1 punt dus b²-4ac = 0
(-2b)²-4·1·1 = 0
4b²-4 = 0
b² = 1
b= -1 V b= 1

lim x rechts van 2 (2arctan(¹/₂px - 1) - ¹/₂·$\pi$)/x-2
¹/₂px - 1 = 1
¹/₂px = 2
x = 2, ¹/₂p·2 = 2
p = 2

Maar hoe moet ik die arctan limiet verder oplossen, ik zit hiermee vanwege het deel x-2, omat x = 2 een moeilijk punt is.

Zou u me kunnen uitleggen hoe ik deze arctan limiet kan uitrekenen door het deel x-2 te elimineren ?

Bij voorbaat dank ik u voor uw hulp,

Radjan.

Radjan
30-10-2017

Antwoord

Het gaat dus om deze limiet
$$
\lim_{x\downarrow2}2\frac{2\arctan(\frac12px-1)-\frac12\pi}{x-2}
$$
daar kunnen we ook
$$
\lim_{x\downarrow2}4\frac{\arctan(\frac12px-1)-\frac14\pi}{x-2}
$$
van maken.
Om de limiet een kans van bestaat te geven moet de limiet van de teller gelijk zijn aan $0$ en wegens de continuïteit van de $\arctan$ komt dat inderdaad neer op de eis $\frac12\cdot p\cdot2-1=1$, ofwel $p=2$. Dan houden we over
$$
\lim_{x\downarrow2}4\frac{\arctan(x-1)-\frac14\pi}{x-2}
$$
Substitueer even $u=x-1$, dan komt er
$$
\lim_{u\downarrow1}4\frac{\arctan u-\frac14\pi}{u-1}
$$
en daar staat de afgeleide van de arctangens in $1$ (vermenigvuldigd met $4$).
De afgeleide van $\arctan u$ is $1/(1+u^2)$; met $u=1$ wordt dat $\frac12$ en daarmee is onze limiet gelijik aan $2$.

kphart
30-10-2017