WisFaq!

F-invariante deelruimtes

Hoi!

Voor lineaire algebra wil ik laten zien dat er voor een nilpotent endomorfisme f van een 3-dimensionale vectorruimte V oneindig veel f-invariante deelruimtes zijn, dan en slechts dan als f²=0. Ik weet al dat er vier veschillende Jordannormaalvormen zijn, waarvan 3 voldoen aan f²=0 en 1 niet, maar ik kom niet verder. Kan iemand me daarme verder helpen?

Naomi
20-10-2017

Antwoord

Hallo, Naomi.

Er is een basis a,b,c waarop de matrix van f een Jordanvorm heeft.
Heb je al bedacht welk gevolg het nilpotent zijn van f heeft voor de elementen op de diagonaal van de Jordanmatrix?
Je houdt nu inderdaad vier mogelijke Jordanmatrices over, en inderdaad geldt bij precies drie van deze vier dat f² = 0.
Bij een van deze drie is elke deelruimte f-invariant, bij de andere twee wordt ofwel elke lineaire combinatie van a en c op 0 afgebeeld ofwel elke lineaire combinatie van a en b, en dan zijn er dus ook oneindig veel eendimensionale f-invariante deelruimten.
Rest je nog te bewijzen dat bij de Jordanmatrix waarbij niet f² = 0 geldt, er niet oneindig veel f-invariante deelruimten zijn.
Hint: werkend op basis a,b,c, kun je berekenen welke f-invariante deelruimtes van een bepaalde dimensie er zijn (onderscheid vier gevallen).
Als het niet lukt, moet je nog maar eens vragen, en laten zien hoever je al gekomen bent.

hr
23-10-2017