WisFaq!

Subgroep van een eindige groep

Als H een subgroep is van eindige groep G,en als |G|=m|H|, verander het bewijs van Lagrange's stelling om te laten zien dat g^m!ÎH voor alle gÎG.

Mijn plan was om met lage waarden voor m te beginnen.

Dus stel m=1 dan |G|=|H| en dus G=H dus g ÎH voor alle g ÎG.

Bij m=2 liep ik echter al vast.
Stel m=2 dus |G|=2|H|, dan willen we aantonen dat g² ÎH voor alle g ÎG.
Neem G=HÈg₁H. Dan kunnen we 2 gevallen onderscheiden, namelijk g ÎH, en gÏH. In het geval van g Î H zijn we snel klaar. Maar als g ÏH, dan zit g Î g₁H.

Hier liep ik vast, want dan zit g² toch ook in g₁H? En als dat zo is kan hij niet in H zitten, want g₁H en H hebben alleen de identiteit gemeen.

Bij voorbaat dank!

Dorien
3-10-2017

Antwoord

Inderdaad, als $g\in H$ dan ook $g^2\in H$, want $H$ is een ondergroep. Maar waarom zou $g^2$ in $g_1H$ moeten zitten als $g\in g_1H$? `Toch' is niet een erg sterk argument.
Sterker nog: ook als $g\in g_1H$ dan $g^2\in H$. Immers je kunt $g=g_1h$ schrijven met $h\in H$. Dan geldt $g^2=g_1hg_1h$; maar $hg_1h\notin H$ en dus $g^2\notin g_1H$.
Ik zou de hint volgen en nog eens goed naar het bewijs van de stelling van Lagrange kijken.

Oh, en $H$ en $g_1H$ zijn disjunct, ze hebben geen enkel punt gemeen.

kphart
3-10-2017