WisFaq!

Product van twee permutaties van orde 2

Laat zien als n minstens 4 is, dan kan elk element van S_n geschreven worden als product van twee permutaties van orde 2.

We hoeven alleen naar cyclische permutaties te kijken, want elke permutatie is een product van disjuncte cyclische permutaties.
Ik heb tot nu toe al een 'patroon' gevonden om dat te doen,
(abc)=(bc)(ac)
(abcd)=(bd)[(ab)(bc)]
... etc
(abcdefg)=[(bg)(cf)(de)][(ag)(bf)(ce)]

Ik weet alleen niet echt hoe ik dit nou moet bewijzen..
Ik zou graag hints/tips willen, zodat ik het echte antwoord zelf kan vinden.

Daan
26-9-2017

Antwoord

Je patroon werkt niet helemaal: de permutatie $(a\,b)(b\,c)$ heeft orde drie.
Je moet ook nog een verwisseling als een product van twee premutaties van orde $2$ schijven, daar heb je nodig dat $n\ge4$: een beetje flauw maar $(a\,b)=(a\,b)[(a\,b)(c\,d)]$.
De algemene truc is deze: neem de getallen $1$, $2$, ..., $n$ en schrijf alle verwisselingen $(i\ i{+}1)$ op ($i=1,\ldots,n-1$). Neem nu voor $\sigma$ het product van alle verwisselingen $(i\ i{+}1)$ met $i$ oneven en voor $\tau$ het product van de verwisselingen met even $i$. Bij $n=4$ heb je dus $\sigma=(1\,2)(3\,4)$ en $\tau=(2\,3)$; en bij $n=5$ krijg je $\sigma=(1\,2)(3\,4)$ en $\tau=(2\,3)(4\,5)$.
Ga na dat $\sigma$ en $\tau$ orde $2$ hebben en dat $\sigma\tau$ (en ook $\tau\sigma$) een $n$-cykel oplevert. Door hernummeren kun je nu elk $n$-cykel maken.

kphart
26-9-2017